样本选择偏差：为什么按结果变量筛选样本会让 OLS 有偏？

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作者：孙晓艺 (厦门大学)
邮箱：sunnalzu202107@163.com

• 分类：因果推断
• Title: 样本选择偏差：为什么按结果变量筛选样本会让 OLS 有偏？
• Keywords: Heckman模型, 样本选择偏误, 逆米尔斯比率, IMR, Mills Ratio, selection bias, sample selection bias
• 提要：本文通过蒙特卡洛模拟表明，样本选择偏差不是简单由「删掉一部分观测」造成的，而是由样本进入规则是否改变误差项与解释变量的关系决定。文章提供 Stata 复现代码，并进一步介绍 Heckman 两步法、逆 Mills 比率和 mroz.dta 实例。

Source：本文参考 Ben Davies 的博客文章 Understanding selection bias 改写，并补充 Stata 复现代码。特此致谢。

1. 问题：删样本为什么可能让回归有偏？

实证研究中，删样本很常见。我们可能只保留有工资收入的个体来估计教育回报，只保留上市公司来研究企业绩效，也可能只分析销售额、利润或出口额为正的企业。很多时候，研究者会担心这种样本筛选会带来「样本选择偏差」(sample selection bias)。

但需要说明的是，删样本本身并不必然导致 OLS 有偏。真正关键的是：进入样本的规则是否与回归方程中的不可观测误差项有关。

本文用一个最小模拟例子说明这个问题。假设真实模型为：

yi=βxi+uiyi​=βxi​+ui​

其中，β=1β=1，xixi​ 与 uiui​ 相互独立。现在比较两种样本限制：

• 只保留 xi≥0xi​≥0 的观测；
• 只保留 yi≥0yi​≥0 的观测。

结果会看到，第一种限制基本不会破坏 OLS 的无偏性，而第二种限制会使 OLS 估计值明显低于真实参数。这个差异揭示了样本选择偏差的核心机制：样本进入规则是否把误差项 uiui​ 带进了选择过程。

2. 一个最小模拟例子

设数据生成过程为：

yi=βxi+ui,β=1yi​=βxi​+ui​,β=1

其中，xixi​ 和 uiui​ 均服从标准正态分布，且二者相互独立：

xi∼N(0,1),ui∼N(0,1),xi⊥uixi​∼N(0,1),ui​∼N(0,1),xi​⊥ui​

在这个设定下，OLS 估计量可以写为：

β^=Cov⁡(x,y)Var⁡(x)β^​=Var(x)Cov(x,y)​

由于真实模型为 yi=xi+uiyi​=xi​+ui​，且 xixi​ 与 uiui​ 独立，因此在完整样本中：

Cov⁡(x,y)=Cov⁡(x,x+u)=Var⁡(x)+Cov⁡(x,u)=Var⁡(x)Cov(x,y)=Cov(x,x+u)=Var(x)+Cov(x,u)=Var(x)

所以总体意义上有：

β=Cov⁡(x,y)Var⁡(x)=1β=Var(x)Cov(x,y)​=1

需要区分的是，β=1β=1 是真实参数；在一次有限样本模拟中得到的 β^β^​ 可能不等于 1。例如，原文使用 n=100n=100 的随机模拟得到：

β^=1.138795β^​=1.138795

这个数不是新的真实参数，而只是一次模拟中的样本估计值。若重复模拟很多次，β^β^​ 的平均值会接近真实参数 1。

3. 只保留 xi≥0xi​≥0：为什么 OLS 仍然近似无偏？

先看第一种样本限制：只保留 xi≥0xi​≥0 的观测。定义选择变量：

Six=1{xi≥0}Six​=1{xi​≥0}

此时，进入样本的条件只取决于解释变量 xixi​。由于在原始数据生成过程中 xixi​ 与 uiui​ 独立，即使只保留 xi≥0xi​≥0 的观测，也不会改变误差项相对于 xixi​ 的条件均值：

E(ui∣xi,Six=1)=E(ui∣xi)=0E(ui​∣xi​,Six​=1)=E(ui​∣xi​)=0

这意味着，在这个特定设定下，选择 xi≥0xi​≥0 的样本不会破坏 OLS 的关键外生性条件。直观地说，虽然样本变小了，xixi​ 的分布也变了，但误差项 uiui​ 并没有因为这个选择规则而系统性地变大或变小。因此，用这个子样本估计 yiyi​ 对 xixi​ 的回归，仍然可以得到接近真实值的斜率估计。

原文模拟结果显示，在只保留 xi≥0xi​≥0 的样本中，OLS 估计值约为：

β^=1.02β^​=1.02

它与真实参数 β=1β=1 非常接近。

4. 只保留 yi≥0yi​≥0：为什么 OLS 明显有偏？

再看第二种样本限制：只保留 yi≥0yi​≥0 的观测。定义选择变量：

Siy=1{yi≥0}Siy​=1{yi​≥0}

由于 yi=xi+uiyi​=xi​+ui​，所以上式等价于：

Siy=1{xi+ui≥0}Siy​=1{xi​+ui​≥0}

这时，选择规则不再只取决于解释变量 xixi​，而是同时取决于误差项 uiui​。这正是问题所在。

如果 xixi​ 很低，一个观测要进入 yi≥0yi​≥0 的样本，就必须有较高的 uiui​ 来抵消较低的 xixi​；如果 xixi​ 很高，那么即使 uiui​ 较低，该观测也可能进入样本。因此，在被选择出来的样本中，xixi​ 与 uiui​ 会被选择机制诱导出负相关关系。

换句话说，完整样本中 xixi​ 与 uiui​ 独立，但在 yi≥0yi​≥0 的子样本中，二者不再独立。OLS 所需要的外生性条件被破坏：

E(ui∣xi,Siy=1)≠0E(ui​∣xi​,Siy​=1)=0

这就是样本选择偏差的核心。不是因为样本少了，也不是因为只看了 yiyi​ 为正的观测本身有什么神秘之处，而是因为这个选择条件把误差项 uiui​ 纳入了样本进入机制。

下图用一个白板示意图概括了这三种情形的差异。左图是完整样本，中图只保留 xi≥0xi​≥0，右图只保留 yi≥0yi​≥0。关键区别不在于删掉了多少样本，而在于是否把误差项 uiui​ 带入了样本选择过程。

在 yi≥0yi​≥0 的子样本中，可以把 uiui​ 对 xixi​ 做一个线性投影：

ui=ρxi+εiui​=ρxi​+εi​

其中，ρ<0ρ<0 表示在被选择样本中 xixi​ 与 uiui​ 的负相关关系，εiεi​ 是与 xixi​ 不相关的残差项。把这个式子代入原始模型：

yi=βxi+uiyi​=βxi​+ui​

可得：

yi=(β+ρ)xi+εiyi​=(β+ρ)xi​+εi​

因此，在 yi≥0yi​≥0 的样本中，OLS 估计到的不是 ββ，而是 β+ρβ+ρ。由于 ρ<0ρ<0，所以估计值会低于真实参数 ββ。

原文模拟结果显示，在只保留 yi≥0yi​≥0 的样本中：

β^=0.356β^​=0.356

同时，由于这是模拟数据，我们能观察到真实误差项 uiui​，因此可以计算：

ρ^=Cov⁡(u,x)Var⁡(x)≈−0.644ρ^​=Var(x)Cov(u,x)​≈−0.644

于是：

β^−ρ^≈0.356−(−0.644)=1β^​−ρ^​≈0.356−(−0.644)=1

这说明 β^β^​ 偏离真实参数的原因，正是选择机制诱导出的 ρ^ρ^​。不过，在真实实证研究中，研究者通常观测不到 uiui​，因此无法直接估计 ρ^ρ^​ 并把真实参数反推出来。

5. 用 Stata 复现这个例子

下面给出一份可以直接运行的 Stata 代码。代码分为三步：生成模拟数据、比较三类样本的 OLS 斜率、画图展示选择机制。

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