1. 基本定义
设 \(G=(V,E)\) 为无向简单图（允许重边时结论类似），\(|V|=n,\ |E|=m\)。
定义 1（树宽 ≤ 2）
图 \(G\) 的树宽 \(\operatorname{tw}(G)\le 2\)，即存在一棵树分解，其所有部件大小不超过 3。
定义 2（部分 2‑树）
\(G\) 是某个 2‑树的子图。
2‑树归纳定义为：
- 完全图 \(K_2\) 是一个 2‑树；
- 若 \(G\) 是 2‑树，添加一个新顶点 \(v\)，并将 \(v\) 与 \(G\) 中某条边的两端点均相连，所得图仍为 2‑树。
定义 3（禁子式）
\(G\) 不含 \(K_4\) 作为子式（minor），即不能通过一系列删边、删顶点和边收缩得到 \(K_4\)。
定义 4（广义串并联操作）
从单边或三角形出发，反复使用以下操作构造的图：
- 串联：将一条边 \((u,v)\) 替换为长度为 2 的路径 \(u - w - v\)（\(w\) 为新顶点）；
- 并联：复制一条边，即添加一条与已有边端点相同的平行边（或对于简单图，添加一条新边连接相邻两点，实质为同端点加边）；
- 添加悬挂边（仅对非 2‑连通情形）或允许割点粘合。
以上四个定义在无向图中两两等价（见引理 1）。
2. 等价性引理
引理 1（等价性定理）
对于任意无向图 \(G\)，以下命题等价：
- \(\operatorname{tw}(G) \le 2\)；
- \(G\) 是部分 2‑树；
- \(G\) 不含 \(K_4\) 子式；
- \(G\) 的每个双连通分量（块）都可以通过串联和并联操作从一个三角形或单边构造出来（即块是 2‑终端串并联图的子图）。
证明：
(1) \(\Rightarrow\) (2)：由树宽 \(\le 2\) 可知存在部件大小 \(\le 3\) 的树分解，可将其转化为 2‑树的子图，具体通过在每个部件中加入边使其成为三角形而不引入 \(K_4\) 子式，最终补全为 2‑树，故 \(G\) 是其子图。
(2) \(\Rightarrow\) (3)：2‑树在加顶点时每次仅引入一个度数为 2 的顶点，无法生成 \(K_4\) 子式，因此任何部分 2‑树亦无 \(K_4\) 子式。
(3) \(\Rightarrow\) (4)：对 \(G\) 的双连通块 \(B\) 运用无 \(K_4\) 子式的性质，可指定块中任意一边为“源汇边”，通过 Menger 定理与极小割分析，证明 \(B\) 可由该边通过串联和并联操作生成，即 \(B\) 为 2‑终端串并联图。
(4) \(\Rightarrow\) (1)：串联与并联操作保持树宽 \(\le 2\)，故每个块的树宽 \(\le 2\)，粘合后整体树宽 \(\le 2\)。
3. 基本性质
性质 1（边数的线性界）
若 \(G\) 是简单广义串并联图且 \(n\ge 2\)，则
等号成立当且仅当 \(G\) 是 2‑树（即极大广义串并联图）。
证明：
对 \(n\) 归纳。2‑树每次添加一个顶点并增加两条边，故边数 \(m=2n-3\)。任意部分 2‑树为 2‑树的子图，故 \(m\le 2n-3\)。
性质 2（色数）
广义串并联图的色数不超过 3，即它是 3‑可着色的。
证明：树宽 \(\le k\) 的图色数 \(\le k+1\)。取 \(k=2\) 即得。也可由无 \(K_4\) 子式直接证明：若图不是 3‑可着色的，则由 Hajós 构造必包含 \(K_4\) 子式。
性质 3（可平面性）
广义串并联图均为平面图，反之不真（例如 \(K_4\) 可平面但非广义串并联）。
证明：串并联操作保持平面性，且部分 2‑树可嵌入平面，不含 \(K_4\) 子式，自然不含 \(K_5\) 与 \(K_{3,3}\) 子式（后者包含 \(K_4\) 子式），故为平面图。
性质 4（识别与分解）
可在 \(O(n+m)\) 时间内判定一个图是否为广义串并联图，并构造其树分解或串并联分解。
证明思路：通过反复移除度数为 0、1、2 的顶点（串联合并）来识别，类似构造 2‑树的过程。具体可使用栈或队列维护度 \(\le 2\) 的顶点，并适当处理重边。
4. 结构引理
引理 2（块与割点）
连通广义串并联图可表示为若干个双连通块（块）通过在割点处粘合形成的树形结构（块割树）。每个块本身是 2‑连通的广义串并联图。
证明：由树宽 \(\le 2\) 直接得到，2‑连通分支的树宽不超过全图。每个块无割点，故必为 2‑连通，树宽仍 \(\le 2\)。
引理 3（2‑连通块的串并联生成）
设 \(B\) 是 2‑连通广义串并联图，且 \(|B|\ge 2\)，则存在两个顶点 \(s,t\)，使得 \(B\) 可以以 \((s,t)\) 为终端，通过以下操作从边 \((s,t)\)（若存在）或从三角形构造：
- 串联：将一条边 \(e\) 用路径替换；
- 并联：添加一条与已有边平行（同端点）的边。
证明：由无 \(K_4\) 子式，\(B\) 的每个极小分离对皆大小为 2。利用极小分离对的结构递归分解，最终得到上述构造。这是经典结果，证略。
引理 4（叶子与度 2 顶点）
在极大广义串并联图（2‑树）中，至少存在两个度数为 2 的顶点。任意广义串并联图可通过反复删除度 \(\le 2\) 的顶点进行简化。
证明：2‑树的构建序列的最后一个添加的顶点显然度数为 2；次后添加的顶点在加入时度数为 2，后续操作可能增加其度数，但无论如何 2‑树中至少有两个度 2 的顶点（归纳可证）。该性质亦是识别算法的基础。
引理 5（子式闭合性）
广义串并联图类对于取子式运算封闭（即子式也是广义串并联图）。
证明：若 \(G\) 无 \(K_4\) 子式，则其任何子式亦无 \(K_4\) 子式，因为子式的子式仍是 \(G\) 的子式。