4.1 自由振动 固有频率与固有振型

4.1 自由振动 固有频率与固有振型

如图 4.3(a)所示为无阻尼两自由度系统。

以静平衡位置为坐标原点，设质量\(m_1、m_2\)的坐标为\(x_1、x_2\)，并假设位移\(x_1\)与\(x_2\)足够小，保证系统在线性范围内运动。对质量\(m_1\)和\(m_2\)应用牛顿第二定律，根据图 4.3(b)得

\[\begin{cases} m_1 \ddot{x}_1 + (k_1 + k_2)x_1 - k_2 x_2 = 0 \\ m_2 \ddot{x}_2 - k_2 x_1 + (k_2 + k_3)x_2 = 0 \end{cases} \tag{4.1} \]

方程(4.1)为系统的自由振动微分方程。

令

\[\begin{cases} k_1 + k_2 = k_{11},\quad k_2 + k_3 = k_{22} \\ -k_2 = k_{12} \end{cases} \tag{4.2} \]

则方程(4.1)改写为

\[\begin{cases} m_1 \ddot{x}_1 + k_{11} x_1 + k_{12} x_2 = 0 \\ m_2 \ddot{x}_2 + k_{12} x_1 + k_{22} x_2 = 0 \end{cases} \tag{4.3} \]

方程(4.3)为二阶常系数线性齐次微分方程组。

因为方程(4.3)是齐次的，所以\(x_1(t)、x_2(t)\)是解，则与其相差一个常数因子\(\alpha x_1(t),\alpha x_2(t)\)也是解。

我们感兴趣同步运动解，即\(x_1(t)、x_2(t)\)对时间有相同的依赖关系，或者说\(x_2/x_1\)与时间无关，用\(f(t)\)表示\(x_1(t)\)和\(x_2(t)\)对时间的依赖部分，则

\[x_1(t)=u_1 f(t),\quad x_2(t)=u_2 f(t) \tag{4.4} \]

式(4.4)中\(u_1、u_2\)为待定常数。将式(4.4)代入方程(4.3)得

\[\begin{cases} m_1 u_1 \ddot{f}(t) + \left(k_{11} u_1 + k_{12} u_2\right) f(t) = 0 \\ m_2 u_2 \ddot{f}(t) + \left(k_{12} u_1 + k_{22} u_2\right) f(t) = 0 \end{cases} \tag{4.5} \]

由方程(4.5)得

\[-\frac{\ddot{f}(t)}{f(t)} = \frac{k_{11} u_1 + k_{12} u_2}{m_1 u_1} = \frac{k_{12} u_1 + k_{22} u_2}{m_2 u_2} = \lambda \tag{4.6} \]

由于\(m_1、m_2、k_{11}、k_{12}、k_{22}、u_1\)和\(u_2\)全部是实常数，所以\(\lambda\)必为实常数。又由方程式(4.6)得

\[\ddot{f}(t) + \lambda f(t) = 0 \tag{4.7} \]

为使方程(4.7)有一振动解，\(\lambda\)必须为正实数，令\(\lambda=\omega^2\)。则设解为

\[f(t)=C\cos(\omega t - \varphi) \tag{4.8} \]

式中\(C\)为常数，\(\omega\)为简谐振动的频率，\(\omega=\sqrt{\lambda}\)，\(\varphi\)为初相位角。由初始条件决定常数\(C、\varphi\)。

另一方面，由方程(4.6)的右边得

\[\begin{cases} \left(k_{11} - \omega^2 m_1\right)u_1 + k_{12} u_2 = 0 \\ k_{12} u_1 + \left(k_{22} - \omega^2 m_2\right)u_2 = 0 \end{cases} \tag{4.9} \]

方程(4.9)表示以\(u_1、u_2\)为未知数的齐次代数方程组。其中\(\omega^2\)起参数作用。方程(4.9)具有非零解的条件为\(u_1、u_2\)的系数行列式等于零，即

\[\Delta(\omega^2) = \det\begin{pmatrix} k_{11}-\omega^2 m_1 & k_{12} \\ k_{12} & k_{22}-\omega^2 m_2 \end{pmatrix}=0 \tag{4.10} \]

式\(\Delta(\omega^2)\)称为特征行列式，展开后得到\(\omega^2\)的二次多项式。展开(4.10)式得

\[\Delta(\omega^2)=m_1 m_2 \omega^4 - \left(m_1 k_{22} + m_2 k_{11}\right)\omega^2 + k_{11}k_{22}-k_{12}^2 = 0 \tag{4.11} \]

方程(4.11)称为特征方程或频率方程。其根为

\[\omega^2_{1,2} = \frac{1}{2}\frac{m_1 k_{22} + m_2 k_{11}}{m_1 m_2} \mp \sqrt{\left(\frac{m_1 k_{22} + m_2 k_{11}}{2m_1 m_2}\right)^2 - \frac{k_{11}k_{22}-k_{12}^2}{m_1 m_2}} \tag{4.12} \]

对式(4.12)根式下的式子作变换可以看出\(k_{11}k_{22}>k_{12}^2\)，于是\(\omega_1^2\)和\(\omega_2^2\)都是正数。这样，特征方程(4.11)有两个正实根\(\omega_1^2\)和\(\omega_2^2\)；故系统有两个频率\(\omega_1\)和\(\omega_2\)。这两个频率唯一地决定于系统的参数(质量和弹簧刚度)，称为系统的固有频率。其中较低频率\(\omega_1\)称为第一阶固有频率，简称基频。较高频率\(\omega_2\)称为第二阶固有频率。

将\(\omega_1^2\)和\(\omega_2^2\)代入式(4.9)，用\(u_1^{(1)}\)和\(u_2^{(1)}\)表示对应于\(\omega_1\)的值，用\(u_1^{(2)}\)和\(u_2^{(2)}\)表示对应于\(\omega_2\)的值，分别求出：

\[r_1 = \frac{u_2^{(1)}}{u_1^{(1)}} = -\frac{k_{11}-\omega_1^2 m_1}{k_{12}} = -\frac{k_{12}}{k_{22}-\omega_1^2 m_2} \tag{4.13a} \]

\[r_2 = \frac{u_2^{(2)}}{u_1^{(2)}} = -\frac{k_{11}-\omega_2^2 m_1}{k_{12}} = -\frac{k_{12}}{k_{22}-\omega_2^2 m_2} \tag{4.13b} \]

可见，只能求出比值\(r_1、r_2\)，而不能唯一地确定\(u_1、u_2\)的具体值。\(r_1、r_2\)分别确定系统以频率\(\omega_1、\omega_2\)进行同步简谐运动时呈现的形状，称为系统的固有振型(亦称主振型)。与固有频率\(\omega_1\)相对应的\(\frac{u_2^{(1)}}{u_1^{(1)}}\)称为第一阶固有振型，与固有频率\(\omega_2\)相对应的\(\frac{u_2^{(2)}}{u_1^{(2)}}\)称为第二阶固有振型。可见，两自由度系统有两阶固有频率，相应地存在两阶固有振型。固有振型表示了系统的固有特性，对于一个给定的系统，以固有频率作振动的位形是一定的，而幅值是不唯一的。

将式(4.8)代入式(4.4)对应\(\omega_1\)有

\[\begin{cases} x_1(t) = c u_1^{(1)} \cos(\omega_1 t - \varphi_1) = X_1^{(1)} \cos(\omega_1 t - \varphi_1) \\ x_2(t) = c u_2^{(1)} \cos(\omega_1 t - \varphi_1) = r_1 X_1^{(1)} \cos(\omega_1 t - \varphi_1) \end{cases} \tag{4.14a} \]

对应\(\omega_2\)有

\[\begin{cases} x_1(t) = c u_1^{(2)} \cos(\omega_2 t - \varphi_2) = X_1^{(2)} \cos(\omega_2 t - \varphi_2) \\ x_2(t) = c u_2^{(2)} \cos(\omega_2 t - \varphi_2) = r_2 X_1^{(2)} \cos(\omega_2 t - \varphi_2) \end{cases} \tag{4.14b} \]

(4.14)的两个式子给出了两自由度系统的两阶固有振动，对于在任意初始条件下的自由振动，应由它们的叠加求得，即

\[\begin{cases} x_1(t) = X_1^{(1)} \cos(\omega_1 t - \varphi_1) + X_1^{(2)} \cos(\omega_2 t - \varphi_2) \\ x_2(t) = r_1 X_1^{(1)} \cos(\omega_1 t - \varphi_1) + r_2 X_1^{(2)} \cos(\omega_2 t - \varphi_2) \end{cases} \tag{4.15} \]

式中\(X_1^{(1)}、X_1^{(2)}\)及\(\varphi_1、\varphi_2\)由初始条件确定。

式(4.15)表示不同频率的两个简谐振动的叠加，通常不再是简谐运动，而且除\(\omega_1\)与\(\omega_2\)可以通约的情况之外，也不是周期运动。

例4.1

在图 4.3 所示的系统中，令\(m_1=m,m_2=2m，k_1=k_2=k,k_3=2k\)，试求固有振型。

解：由式(4.2)得

\[\begin{cases} k_{11}=k_1+k_2=2k,\quad k_{22}=k_2+k_3=3k \\ k_{12}=-k_2=-k \end{cases} \tag{1} \]

于是，由式(4.11)得频率方程为

\[\Delta(\omega^2)=2m^2 \omega^4 - 7mk\omega^2 + 5k^2 = 0 \tag{2} \]

其根为

\[\omega_{1,2}^2 = \left[\frac{7}{4} \mp \sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^2-\frac{5}{2}}\right]\frac{k}{m} = \begin{cases} \displaystyle \frac{k}{m} \\[4pt] \displaystyle \frac{5k}{2m} \end{cases} \tag{3} \]

固有频率为

\[\omega_1=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad \omega_2=1.5811\sqrt{\frac{k}{m}} \tag{4} \]

将\(\omega_1^2\)和\(\omega_2^2\)代入式(4.13)得

\[\begin{align*} r_1 &= \frac{u_2^{(1)}}{u_1^{(1)}} = -\frac{k_{11}-\omega_1^2 m_1}{k_{12}} = -\frac{2k-(k/m)m}{-k} = 1 \\ r_2 &= \frac{u_2^{(2)}}{u_1^{(2)}} = -\frac{k_{11}-\omega_2^2 m_1}{k_{12}} = -\frac{2k-(5k/2m)m}{-k} = -0.5 \end{align*} \tag{5} \]

将式(5)绘于图 4.4，称振型图。在第一振型中，两个质量以相同的振幅作同向运动，则中间弹簧无变形，可以用无重刚杆代替。在第二振型中，两质量以振幅比为\(1:0.5\)反向运动，因此在离质量\(m_2\)的\(1/3\)处固定不动，称为节点。

参考文献

振动分析及应用 王彬 4.1