空间曲线的切线和法平面
空间曲线 \(\Gamma:\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\\z = z(t) \end{cases}\) 在点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 处：
切向量：\(\mathbf{v}=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))\)。
切线：\(\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}\)
法平面：\(x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0\)
注：对于形如 \(\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0 \end{cases}\) 的空间曲线，我们仍然可以当成参数方程 \(\begin{cases}x = x\\y = y(x)\\z = z(x) \end{cases}\) 通过对 \(x\) 求导，代入 \(M_0\) 点坐标，求解方程组得到此时的 \(y'(x),z'(x)\)。在 \(M_0\) 处的切向量就是 \((1,y'(x),z'(x))\)。
空间曲面的切平面和法线
空间曲面
\(\Sigma:F(x,y,z)=0\)
在点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 处：
切平面的法向量：\(\mathbf{n}=\nabla F=(F_x,F_y,F_z)\)。
切平面：\(F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0\)
法线：\(\frac{x-x_0}{F_x}=\frac{y-y_0}{F_y}=\frac{z-z_0}{F_z}\)
注：曲面 \(z=f(x,y)\) 的法向量可以是 \((f_x,f_y,-1)\) 或 \((-f_x,-f_y,1)\)，实际选取时要看朝“上”还是朝“下”。（计算曲面积分时很重要）
空间曲面面积
\(dS=\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dxdy\)
\(S=\iint_D\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dxdy\)
第一类曲线积分
定义：\(\int_L f(x,y)ds\)
想象成计算密度不均匀的曲线的质量。
计算方法：换掉 \(ds\) 转换成定积分。
例1、计算 \(\int_L xds\)，其中：
（1）\(L\) 为 \(y = x^2\) 上自 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 的弧段。
（2）\(L\) 为 \((0,0)\) 至 \((1,0)\) 至 \((1,1)\) 的弧段。
例2、计算 \(\int_L(x^2+y^2+z^2)ds\)，其中，\(L\) 是螺旋线 \(x=a\cos t,y=a\sin t,z=kt\) 上对应从 \(0\) 至 \(2\pi\) 的一段弧。
第一类曲面积分
定义：\(\iint_{\Sigma} f(x,y,z)dS\)
想象成计算密度不均匀的薄片的质量。
计算方法：投影至 \(xOy\) 平面，再换掉 \(dS\) 转换成二重积分。
例1、计算 \(\iint_{\Sigma} (x+y+z)dS\)，其中，\(\Sigma\) 为上半球面 \(z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}\)。
第一类线面积分也可以使用对称性，奇偶性等性质。第二类线面积分不可以使用。
第二类曲线积分
定义：\(\int_L Pdx+Qdy\)
一个质点，位于向量场 \(\mathbf{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\) 中，沿曲线 \(C\) 从点 \(A\) 到点 \(B\)，场对其做功多少？
\(dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(P,Q)\cdot(dx,dy)=Pdx+Qdy\)
\(W=\int_L Pdx+Qdy\)
第一、二类曲线积分的关系：
\(d\mathbf{r}=(dx,dy)=(\cos\alpha,\cos\beta)ds\)，其中 \((\cos\alpha,\cos\beta)\) 是曲线的单位切向量。
则 \(dW=\mathbf{F}d\mathbf{r}=(P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds\)
\(W=\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds\)
计算方法：
曲线 \(L:\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t) \end{cases}\)，\(t:\alpha\to\beta\)
若是闭合曲线，可用格林公式。
例1、计算 \(I=\int_L 2xydx+x^2dy\)，\(L\) 为从 \((0,0)\) 至 \((1,1)\) 的如下曲线：
（1）\(y=x\)；
（2）\(y=x^3\)；
（3）由 \((0,0)\) 至 \((1,0)\) 的折线段。
第二类曲面积分（通量积分）
定义：\(\iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy\)
设流体各处流速 \(\mathbf{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\)，流速由曲面负端流向正端，求单位时间的通量。
\(d\Phi=\mathbf{F}\cdot\mathbf{n^0}dS\)
\(\Phi=\iint_\Sigma\mathbf{F}\cdot\mathbf{n^0}dS\)
曲面某点处切平面的单位法向量 \(\mathbf{n^0}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)。
则 \(\iint_\Sigma\mathbf{F}\cdot\mathbf{n^0}dS=\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS\)。
又 \(\cos\alpha dS=dydz,\cos\beta dS=dxdz,\cos\gamma dS=dxdy\)。
上式化为 \(\iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy\)。
计算方法：
曲面 \(\Sigma:z=z(x,y)\) 在某点处的法向量 \(\mathbf{n}=(-z_x,-z_y,1)\)。
则 \(\mathbf{n^0}=\frac{1}{\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}}(-z_x,-z_y,1)\)
又 \(dS=\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dxdy\)
所以 \(\mathbf{n^0}dS=(-z_x,-z_y,1)dxdy\)。
故 \(\iint_\Sigma\mathbf{F}\cdot\mathbf{n^0}dS=\iint_D(-Pz_x-Qz_y+R)dxdy\)（转换投影法，将曲面投至 \(xOy\) 平面，计算二重积分）
注：若 \(\mathbf{n}\) 向下，则 \(\mathbf{n}=(z_x,z_y,-1)\)，上式加负号即可。
例1、计算 \(I=\iint_\Sigma xyzdxdy\)，其中 \(\Sigma\) 为 \(x^2+y^2+z^2=1\) 的部分外侧。
（1）\(z\ge0\)；
（2）\(x\ge0\)，\(y\ge0\)。
格林公式
连通区域：单连通，复连通（挖掉的洞需要有边界）
正方向的定义：沿着边界走，左手边是区域。
设 \(P(x,y)\)，\(Q(x,y)\) 在区域 \(D\) 上有连续的偏导数，\(D\) 的边界为分段光滑的曲线 \(C\)，则
注：Green公式对单、复连通区域都适用。
例1、计算 \(I=\oint_{C^+}(y-x)dx+(3x-y)dy\)，其中曲线 \(C\) 为 \(x^2+y^2-2x-8y+8=0\)。
例2、计算 \(I=\int_{\overset{\frown}{AD}}(e^x\sin y-4y+x)dx+(e^x\cos y-3)dy\)，其中 \(\overset{\frown}{AD}\) 是上半圆周 \(x^2+y^2=ax\,(y\ge 0,a>0)\) 从 \(A(a,0)\) 至 \(O(0,0)\) 的部分。
例3、计算 \(I=\oint_{C^+}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}\)，其中 \(C^+\) 是包围原点的任一正向闭合曲线。（挖洞法+Green公式）
提示：令 \(C1:x^2+y^2=\epsilon^2\)，顺时针。则 \(I=(\oint_{C^+}+\oint_{C_1})-\oint_{C_1}\)。
保守场：例如重力场，电场，做功都与路径无关，等于终点与起点势能之差。
关于保守场的等价条件：
（1）平面内第二类线积分与路径无关。
（2）在 \(D\) 内任意逐段光滑的闭合曲线 \(C\) 上 \(\oint_C Pdx+Qdy=0\)。
（3）在 \(D\) 内恒有 \(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\)。
（4）\(Pdx+Qdy\) 为某个函数 \(u\) 的全微分，即 \(du=Pdx+Qdy\)。
例、计算 \(I=\int_{\overset{\frown}{AB}}2e^{2x}\cos ydx-e^{2x}\sin ydy\)，其中 \(\overset{\frown}{AB}\) 是上半椭圆 \(\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\) 由 \(A(0,0)\) 到 \(B(2,3)\) 的弧段。
高斯公式
散度：\(\mathrm{div} \mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\)
设 \(P,Q,R\) 在空间有界闭区域 \(\Omega\) 有连续偏导数，\(\Omega\) 的边界 \(\Sigma\) 是分片光滑的闭曲面，取外侧为正向，则
例1、计算 \(I=\oiint_{\Sigma}xdydz+ydxdz+zdxdy\)，其中 \(\Sigma\) 为椭球面 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) 的外侧。
例2、计算 \(I=\iint_{\Sigma}xdydz+2xydxdz-2zdxdy\)，其中 \(\Sigma\) 为锥面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}\,(0\le z\le h)\) 的下侧。
例3、计算 \(I=\oiint_{\Sigma}\frac{xdydz+ydxdz+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\)，其中 \(\Sigma\) 为 \(2x^2+2y^2+z^2=4\) 的外侧。（挖洞法+Gauss公式）
提示：令 \(\Sigma:x^2+y^2+z^2=\epsilon^2\)，向内。则 \(I=(\oiint_{\Sigma^+}+\oiint_{\Sigma_1})-\oiint_{\Sigma_1}\)。
斯托克斯公式
旋度：\(\mathrm{rot}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix}\)
设双侧曲面 \(\Sigma\) 的边界为空间闭曲线 \(C^+\)，\(C^+\) 的正方向与 \(\Sigma\) 的正侧成右手系，\(P\)、\(Q\)、\(R\) 有连续偏导数，则
若 \(\Sigma\) 为 \(xOy\) 平面上的一块区域，则 \(\mathbf{n^0}=(0,0,1)\)，上式化为 \(\oint_{\Sigma^+}Pdx+Qdy=\iint_{\Sigma^+}(Q_x-P_y)dS=\iint_D(Q_x-P_y)dxdy\) 即格林公式。
例、设 \(L\) 是柱面 \(x^2+y^2=1\) 与平面 \(y+z=0\) 的交线，从 \(z\) 轴正向往负向看过去为逆时针方向，求 \(\oint_L zdx+ydz\)。