硅基光电子学 2026.07.12

第二章 硅中光子与电子的相互作用

2.2 半导体能带结构

2.2.1 能带和载流子

1）在由原子构成的晶格结构所形成的周期性势场中，薛定谔方程关于电子能量的解导致分离的原子能级，形成半导体的能带结构。每个能带有大量的离散能级，近似认为 “准连续” 。价带顶和导带底之间，不存在允许状态的区域，称为 “带隙”

2）电子受到足够能量激发（如热激发）后，从价带进入导带，同时在价带留下空穴。电子和空穴总是成对产生，二者都能作为载流子参与导电（在外场作用下漂移产生电流）。

补：载流子会参与光吸收、发射和调制，本质上都是电子在不同能量状态之间跃迁，以及载流子浓度改变材料光学性质。

• 光吸收：光子能量满足时被吸收，电子跃迁/产生电子－空穴对。

有趣的是，硅在处，无法发生普通单光子带间吸收，所以硅光探测器通常集成锗。高光强下也可能发生双光子吸收。此外，导带中的自由电子或价带中的自由空穴也可以继续吸收光子，称为自由载流子吸收。

• 光发射：电子－空穴复合

导带电子掉回价带、填补空穴时，释放能量：辐射复合产生的光子能量近似为

但复合也可能通过声子或缺陷释放能量，而不产生光子，称为非辐射复合。硅是间接带隙，电子－空穴辐射复合还需要声子参与动量守恒，因此：电子 + 空穴光子 + 声子，发生概率较低。

• 光调制：载流子改变折射率和吸收

改变电子浓度、空穴浓度，会改变硅的复折射率，表现出1）折射率变化，使光积累额外相位2）吸收系数变化，改变输出光功率。

硅光调制器通常通过结载流子耗尽，或结载流子注入来控制载流子浓度，再利用马赫－曾德尔干涉仪或微环把相位变化转换为强度变化。

3）关系（回答了电子具有哪些允许能量、如何运动、如何响应外场，以及能否在满足能量和晶体动量守恒的条件下吸收或发射光子）

• 自由电子的关系

自由电子满足，利用德布罗意关系：，可以得到，因此，自由电子的关系是一条以为最低点的抛物线。注！轴不是空间位置，而是动量空间。

• 晶体中的关系

在半导体中，电子受到周期性晶格势场作用（非自由）。电子状态由布洛赫波描述：

此时为晶体动量或准动量，不同于自由空间中的机械动量。

晶格有周期性，因此能带在倒空间中也有周期性：，是倒格矢。

我们主要关注第一布里渊区，其他区域是它的周期重复。

• 曲线包含什么信息

导带电子能量不只取决于，还与其在晶体中运动的方向有关。

曲线斜率决定载流子速度：。因此，在导带最低点或价带最高点：，\]

载流子的群速度为零。注！这不代表电子静止，而是该布洛赫态的平均传播速度为零。

曲率决定有效质量：，若近似各向同性，。能带曲率越大，有效质量越小，载流子越容易被加速；能带越平坦，有效质量越大，载流子越难被加速；不同晶向曲率不同，因此有效质量可能有方向性。

• 为什么引入有效质量 // 导带底和价带顶的抛物线近似 // 判断直接与间接带隙

晶格对电子的复杂作用，可以等效为电子质量发生改变。外力作用时，

结合曲率，可以近似成：。有效质量是载流子对外场响应强弱的等效参数。

导带底附近曲率向上：，为导带电子有效质量。

价带顶附近曲率向下：，为价带空穴有效质量。

从电子角度看，价带顶附近的曲率为负，因此电子有效质量为负。为了避免描述负质量电子，我们把价带中缺失的电子定义为空穴，空穴具有正电荷和正有效质量。

光子动量，相对于电子的晶体动量变化很小，所以普通光学跃迁近似保持不变，在图中表现为竖直跃迁。

• 直接带隙：导带底和价带顶位于相同的，电子与空穴可直接通过光子跃迁。
• 间接带隙：导带底和价带顶位于不同的，跃迁除光子外还需要声子补偿晶体动量。

PS-QRNG：关系决定了，硅是间接带隙，不适合作为高效片上光源，通常需要集成 III-V材料。光子能量低于硅带隙，硅波导吸收较弱；探测通常需要集成锗。有效质量影响载流子的迁移、折射率变化和自由载流子吸收，因此影响硅光调制器的效率、损耗和速度。

掺杂 / 本征 / 非本征......

2.2.2 载流子浓度

（每个能级允许的状态密度？每个能级被占据的概率？载流子浓度与能量的关系？）

1）态密度

半导体材料中的电子量子态由能量、传播矢量、电子自旋所表征，由满足一定边界条件的波函数所描述。态密度表示单位体积、单位能量范围内允许存在多少个电子状态。空间计数为，再结合带边附近的抛物线关系，可得到导带态密度：

，价带态密度为：，因此，三维半导体的态密度在带边为零，离带边越远，态密度越大。有效质量越大，能带越平坦，同一能量范围内的状态越密集。

2）费米－狄拉克分布

能量为的状态被电子占据的概率为：

其中，“费米能级” 是占据概率为 1/2 的能量位置。

空穴代表价带中的空状态，因此某能级被空穴占据的概率为。

态密度决定“有多少座位”，费米函数决定“每个座位被占据的概率”

导带某能量附近的电子密度为

价带某能量附近的空穴密度为

对能量积分得到总浓度：，

3）非简并近似

当费米能级距离带边数倍时，费米函数可近似为玻尔兹曼分布，得到：

，，

其中有导带、价带有效态密度：，。

4）热平衡 // 本征载流子与质量作用定律

在热平衡且费米分布可采用玻尔兹曼近似时，

，，

两式相乘，费米能级被消去。

有效态密度为，

因此，载流子浓度乘积与费米能级的位置无关。在给定材料和温度下，是一个定值，称为质量作用定律。

对于本征半导体，由材料的带隙、有效质量和温度决定。温度升高时，本征载流子浓度近似呈指数增长。

掺杂后半导体不再本征，此时一般， 但在热平衡、非简并条件下仍满足。（掺杂增加多数载流子浓度时，少数载流子会因复合达到新的热平衡而减少，但二者乘积保持为)

质量作用定律的适用边界：费米能级位于带隙内、距离带边数倍，玻尔兹曼近似成立。

• 重掺杂使费米能级进入导带或价带时，形成简并半导体，必须使用完整的费米－狄拉克积分。

• 重掺杂还可能形成杂质带并引起带隙变窄。

• 强光照或电注入会使系统偏离热平衡，此时电子和空穴分别由准费米能级描述，也不能直接使用热平衡关系。

5）热平衡被破坏 // 准费米能级

热平衡时，整个半导体只有一个费米能级。而受到光照或电注入后，电子和空穴不再相互平衡，我们分别引入电子、空穴准费米能级：，

准费米能级分裂，表示系统偏离热平衡，与光电探测、载流子注入、激光器等很相关。对硅光器件而言，载流子浓度决定折射率变化、自由载流子吸收、结电容和调制效率；对 QRNG 而言，还影响探测器响应、散粒噪声、复合噪声和暗电流。

2.2.3 载流子的产生、复合和注入

1）热平衡下载流子的产生与复合

产生：价带电子获得足够能量后跃迁到导带，同时留下一个空穴。电子和空穴通常成对产生，通过热激发（晶格热运动提供能量）、光激发（吸收满足条件的光子）、电注入（外加偏压使载流子跨越结区）、碰撞电离（高能载流子产生新的电子－空穴对）等方式。

复合：导带电子回到价带并填补空穴，电子－空穴对消失。通过辐射复合（能量以光子形式释放）、声子辅助非辐射复合（能量转化为晶格振动）、缺陷辅助复合（通过带隙中的陷阱能级，SRH 复合）、俄歇复合（能量传递给另一个电子或空穴）等方式。

simple model：,为单位体积、单位时间内的复合数，为复合系数。复合同时需要电子和空穴，因此复合速率与成正比。

PS：质量作用定律是热平衡条件下，保证载流子产生与复合达到动态平衡的必然结果。

2）热平衡下载流子的注入

外部注入会额外产生电子－空穴对，此时，，成对产生意味着。此时，总复合率为，扣除原有热平衡复合率后，，即。

低注入条件为，

定义过剩载流子寿命，于是。

若外部产生率为，过剩载流子满足，稳态时：

撤去外部激励后：

因此，表示撤去激励后过剩载流子衰减的时间尺度。在型材料中，所以。

（多数载流子越多，过剩少数载流子越容易复合，寿命越短）

若，则进入高注入状态，净复合率中的二次项不能忽略

此时寿命不再是常数，载流子的衰减也不再是简单指数形式。

3）内量子效率

总复合包括辐射和非辐射复合：，内量子效率定义为：

若用复合寿命表示：，则

硅是间接带隙，辐射复合较弱，缺陷、声子和俄歇复合更容易发生，内量子效率很低。

PS-QRNG: 在光电探测器中，光吸收产生电子－空穴对；这些载流子被电场收集形成光电流。载流子寿命、渡越时间和结电容共同影响探测器带宽。对于真空态 QRNG，还要区分真空涨落经平衡探测得到的量子噪声，光电转换产生的散粒噪声，暗电流、陷阱复合和温度变化带来的经典噪声。后几种噪声会影响噪声标定和最小熵估计，不能未经建模就全算作量子随机性。

2.2.4 p-n 结

结由多数载流子扩散形成耗尽区和内建电场；正向偏置降低势垒并产生载流子注入，反向偏置扩大耗尽区，适合高速调制和光电探测。

1）接触前，两侧载流子浓度和费米能级不同。

在型区：, 在型区：。

2）两侧接触后，由于浓度差发生扩散，电子和空穴越过结区后发生复合，使结附近的自由载流子减少，同时留下不能移动的离化杂质：

• 区留下带正电的施主离子
• 区留下带负电的受主离子

耗尽区（空间电荷区）：结附近几乎没有自由载流子的区域。

3）固定正、负离子形成内建电场，电场方向为：，内建电场阻止多数载流子继续扩散，并且推动少数载流子发生漂移。最终，因此热平衡时没有净电流。

内建电势为，掺杂浓度越高，内建电势越大。

4）费米能级对齐，要求导带和价带在耗尽区发生能带弯曲。能带势垒高度为。

设耗尽区向区和区延伸的宽度分别为和，电荷守恒要求，

所以耗尽区主要向掺杂较轻的一侧延伸。总耗尽区宽度为：，在突变结近似下：

5）正向偏置：给区接正电压、区接负电压

外电场与内建电场方向相反，势垒降低：，使得耗尽区变窄，多数载流子更容易越过结区；电子注入区，空穴注入区；电流随电压近似指数增长。

理想二极管方程为：

越过结后，多数载流子会成为对侧的过剩少数载流子，并通过复合逐渐消失。

6）反向偏置导致势垒升高，从而耗尽区变宽；多数载流子难以越过结区；仅有少量少数载流子形成反向电流；电压过高时可能发生齐纳或雪崩击穿。

反向偏置时：，结电容为：，因此反向偏压增大时，耗尽区宽度变大，结电容变小。

结在区和区之间加入本征或轻掺杂的区：耗尽区几乎扩展到整个区：

更宽的光吸收区域，更强、更均匀的电场，更小的结电容，更高的光生载流子收集效率，更高的探测带宽。

PS-QRNG：在硅光调制器中，反向偏置结改变耗尽区宽度和波导中的载流子浓度，从而通过等离子色散效应改变折射率与吸收，实现相位调制：

在真空态 QRNG 中，平衡探测器通常采用反向偏置的光电二极管。两只 PD 的响应度、结电容、暗电流和带宽必须尽量匹配，否则会降低共模抑制并引入输出偏置。

...........................maybe

2.3 硅基光子晶体带隙结构

周期性折射率把原本连续传播的光学模式重新组织成光子能带；在某些频率范围内，没有允许传播的模式，是光子带隙。

2.3.1 光子晶体的带隙

1) 光子晶体是什么？

均匀介质中，折射率不会随位置周期性变化，介质中的平面波满足（图呈现一条直线）；而光子晶体是介电材料在波长尺度上折射率按周期排列的人工电磁晶体。

2）1D 层状光栅（光子带隙从何而来？）

电子在固态晶体的周期性势垒下形成了电子带隙，类似地，光子晶体的周期性折射率变化对光产生布拉格散射，形成光子带隙。光子带隙所处的频率范围、频带宽度、光子带隙作用范围，共同决定了光子晶体控制光传播的能力。

以交替排列的周期层状结构（一种分布式布拉格反射镜）为例，

光在这种结构中的传播受到两种效应共同影响：

[1] 每个界面的菲涅耳反射—— 光遇到折射率突变时，发生反射。法向入射的电场振幅反射系数为

，功率反射率为，所以折射率差越大，单个界面的反射越强。

PS：若暂时忽略材料色散，菲涅耳反射可以近似看作不依赖波长；但更严格地说，实际折射率随波长变化，反射率也会存在一定的波长依赖。

[2] 周期结构带来的布拉格相干叠加

单个界面的反射通常不足以形成强反射。但是，如果周期结构中各界面的反射波具有合适的相位关系，便会相长叠加。比如，光在材料中的半个波长恰好等于光栅周期（入射光波矢与系统晶格周期匹配）时，光走过一个周期积累的相位恰好使各次反射相长干涉，向前传播与向后传播的波强烈耦合，此时布拉格效应最强烈。非常依赖波长！！！

—— 一维光子带隙是菲涅耳反射与布拉格相干叠加共同作用的结果

PS：材料折射率差会影响带隙宽度

• 低折射率差，当两种材料的折射率差较小时：

单个界面的菲涅耳反射很弱，需要很多周期的反射相干叠加，才能获得较高反射率；结构表现出较强的波长选择性；带隙一般较窄，布拉格效应在带隙形成中更突出。

• 高折射率差，当两种材料的折射率差较大时：

单个界面的菲涅耳反射已经很强，光只需经过较少周期就能接近完全反射，反射不再只局限于非常窄的布拉格匹配范围；光子带隙通常更宽，菲涅耳反射的贡献更加明显。

因此，可以建立设计直觉：折射率反差越大，通常带隙越宽，获得高反射所需周期数越少。

但带隙宽度并不只由材料折射率决定，还取决于各层厚度、占空比、晶格周期、模式场分布、偏振、传播方向等等。

为什么带隙在布里渊区边界打开？

满足布拉格条件的前向波和后向波在（布里渊区边界）附近，会被周期结构耦合，形成两个驻波，。

虽然两个驻波有相同的空间周期，但其场强最大值位于不同材料区域：

• 一个模式的电场主要集中在高折射率区

• 另一个模式的电场主要集中在低折射率区

光模式的有效折射率由场在不同材料中的分布共同决定。因此：

• 场更多位于高折射率区时，较大，本征频率较低

• 场更多位于低折射率区时，较小，本征频率较高

PS：有效折射率是一个光学模式在整个复合结构中传播时，“整体感受到” 的等效折射率。

由近似关系可知，原本在布里渊区边界简并的两个模式发生频率分裂，中间形成没有允许模式的频率区间，即光子带隙。因此，从能带和模态的角度，光子带隙的本质是，布拉格散射使简并的前后向波耦合成两个场分布不同的驻波，二者有效折射率不同，导致频率分裂，形成带隙。

3）硅基 2D光子晶体带隙

二维光子晶体可视作许多不同方向的一维周期光栅相互叠加。由于不同传播方向看到的有效周期不同，各方向的禁带位置也可能不同。如果某一频率只在特定方向上不能传播，称为方向带隙。

如果在某一频率范围内，平面内所有传播方向都不存在允许模式，称为二维光子晶体的完全带隙。

PS：如图所示情况为，第一布里渊区是倒空间中的六边形。由于结构具有旋转和镜面对称性，不需要遍历所有波矢，只需要计算不可约布里渊区边界。

4）硅基二维光子晶体平板带隙

理想二维光子晶体默认结构在垂直方向无限延伸。但真实硅光器件为有限厚度（三维结构）。

光子晶体平板中的光受到两种不同机制的限制：

• 平面内：由二维光子带隙限制

• 垂直方向：由芯层和上下包层的折射率差产生全反射限制

因此，真实光子晶体平板的能带必须同时考虑平面内周期结构，垂直方向有限厚度，上下包层，垂直辐射泄漏。

“光线与光锥”

对于折射率为的均匀包层，其辐射模满足，这条边界为光线。

由光线围成、包层支持辐射传播的区域称为光锥。

• 光锥内的模式能与包层辐射模耦合，会向垂直方向泄漏

• 光锥外或光线以下的模式不能满足包层传播条件，有机会成为垂直受限导模

因此，一条能带即使位于平面内光子带隙之外，也不一定是低损耗导模；还要关注是否落入光锥。

对于均匀背景，光线可以写成：，在归一化能带图中，斜率由背景材料折射率决定。对于周期性背景，光锥的下边界可由相应背景结构最低的辐射能带确定。

所以光子晶体平板的带隙计算可分为两个阶段：

1. 计算平面内周期单胞的 Bloch 本征模，得到初步能带图

2. 计算光锥，将处于辐射区域的部分标记为不可用于低损耗传播的区域

将二者叠加后得到实际光子晶体平板的有效带隙。

PS：右侧深色区域表示光锥，即垂直辐射泄漏的区域；位于光锥之外的相关能带为受限模式。

在理想二维结构中，TE和TM偏振可以严格分离。

常见定义：

• TE：电场主要位于光子晶体周期平面内

• TM：磁场主要位于周期平面内

对于有限厚度平板，如果结构关于平板中面对称，模式仍可较清楚地划分。如果上下包层不对称，例如上方为空气、下方为二氧化硅，则镜面对称性被破坏，TE与TM会发生一定程度的混合，此时为准TE模、准TM模。

光子晶体仿真结果通常使用归一化频率：

如果目标工作波长为，目标归一化频率为，则晶格常数初值为

光子晶体设计存在尺度不变性：在材料色散不强的近似下，保持、等比例不变，整体缩放几何尺寸会近似按相同比例缩放工作波长。

设计直觉

• ：主要调节工作波长尺度
• 、填充比：调节能带位置和带隙宽度
• ：影响垂直限制、偏振和能带结构
• 折射率反差：显著影响带隙宽度
• 周期数：影响有限结构的反射率和带隙抑制度
• 光锥：决定模式是否可能产生垂直辐射损耗

联系仿真

我们以后用平面波展开、本征模求解器或 FDTD 研究光子晶体时，常常需要依次完成：

1. 建立单胞和周期边界条件
2. 设置及材料折射率
3. 沿对应的倒空间路径扫描 Bloch 波矢
4. 得到能带图，识别上下带边及归一化带宽
5. 查看带边模式场分布，判断TE-like/TM-like属性
6. 叠加光锥，排除辐射模
7. 将归一化结果换算成实际版图尺寸
8. 用有限周期FDTD验证透射谱和实际损耗

2.3.2 硅基环形光子晶体的带隙增强

光子带隙是光子晶体最重要的基础特性。利用带隙可以在线缺陷中形成光子晶体波导，在点缺陷中形成光学微腔，制作宽带反射镜，控制自发辐射，实现滤波、传感和慢光等功能。而在普通圆形空气孔结构中存在一个矛盾：增大带隙通常需要较高空气填充比，但高填充比会削弱垂直光限制。

1）环形光子晶体的目的，就是增加一个几何自由度，在较低空气填充比下仍获得较宽带隙。

对于硅基三角晶格，原胞面积为，环形空气孔面积为，

因此空气填充比为

对于普通圆孔，给定填充比后，圆孔半径也随之确定，只有一个主要几何参数。

对于环形孔，填充比由决定（两个参数）。环形光子晶体之所以能够优化带隙，是因为它把 “空气填充比” 和 “孔的空间分布范围” 部分解耦了。普通圆孔若要让空气区域覆盖更大范围，必须增加空气面积；环形孔则可以在空气面积不变的情况下增大外半径，同时在中心保留硅柱。

2）如何设置包覆层厚度 // 能带分析

在上下包层完全对称的平板中，TE 和 TM 模式可依据场关于中间平面的奇偶性严格分开。但在空气 / 硅 / 二氧化硅结构中，垂直镜面对称性被破坏，TE 和 TM 发生混合（准TE模、准TM模）。

用三维平面波展开法计算时，通常会在垂直方向建立一个超原胞：[ 中间为硅光子晶体平板，上方为空气包覆层，下方为二氧化硅包覆层，整个超原胞在垂直方向周期重复 ] 。但真实结构不希望相邻超原胞中的光子晶体平板相互耦合。因此，空气层和二氧化硅层必须足够厚，使场在到达垂直周期边界前充分衰减。包覆层厚度足以隔离相邻超原胞，可以在保证精度的同时减少计算量。

PS：包覆层厚度需要做收敛性测试：逐渐增大上下包层厚度，比较关键能带和带隙边缘是否变化，当结果变化小于允许误差时，说明包覆层足够厚。

如图所示能带图中，准 TE 的第一、第二能带之间存在带隙，但该频率区间内还有两条准 TM 能带，因此不存在完全带隙，只存在准 TE 偏振带隙。

准TE带隙下边界由第一条准TE能带的最高频率决定：

准TE带隙上边界由第二条准TE能带的最低频率决定：

因此带隙宽度为，归一化带隙宽度为

那么为什么能带图还需要场分布验证呢？

能带图只能传达，某个波矢下存在什么本征频率，哪些曲线可能形成带隙，哪些模式位于光锥内或光锥外。但不能描述每条曲线属于准 TE 还是准 TM，特别是在上下包层不对称、两条能带接近、模式发生反交叉、TE - TM 混合增强的情况下。如图，通过经过环形孔中心的截面上的场分布和沿环形孔轴线方向的归一化振幅，可以判断准 TE / 准 TM。

图2.37(a)和(b)：关于垂直方向近似偶对称主要属于准 TE 模式。

图2.37(c)和(d)：关于垂直方向近似奇对称：主要属于准 TM 模式。

所以虽然上下包层不对称，但这四个模式仍表现出较清晰的近似奇偶性，说明在所选结构参数下，TE-TM 混合较弱，可以用 准TE 和 准TM 分类。

3）性能优化 // 环形孔如何增强带隙

在保持空气填充比不变时，环形孔可增大外半径，同时增大内半径，即空气 - 硅界面的空间分布、周长以及介电常数的傅里叶分量发生变化。光子带隙并不只由空气总面积 (空气填充比) 决定，还与周期性介电常数分布的空间傅里叶分量有关。环形结构通过重新分布同样面积的空气区域，可以改变对不同Bloch模式的散射强度，上、下带边模式的场分布，带边有效折射率，第一和第二准TE能带的分离程度。

左图比较了三种能带计算方法

：全三维方法

直接对有限厚度光子晶体平板进行三维计算，包括平板厚度、上下包层、垂直场分布、TE-TM混合、辐射区域。（定量分析）

：二维有效折射率方法

先用一个有效折射率代替有限厚度平板，再进行二维光子晶体计算。计算快、适合参数趋势分析，但会丢失真实垂直场分布。

：纯二维方法

把光子晶体视为垂直方向无限延伸的二维结构，不考虑有限厚度。简单，但与真实器件差别最大。

当空气填充比较低时，二维方法与三维方法较接近。因为环形孔对平板的垂直结构扰动较小，模式仍主要受硅平板约束；垂直场分布相对于二维模型的偏离较弱。因此，二维模型能够较好预测变化趋势。

随着空气填充比增大，二维方法和三维方法的差异明显增加。因为平板平均有效折射率下降，垂直光限制减弱，模式场更多进入包层，二维模型忽略的垂直结构影响增强。

二维方法适合快速定性扫描， 宽带隙结构的最终定量设计必须采用三维方法。

2.3.3 光子晶体掺杂

理想光子晶体有严格的周期性介电常数，使光子形成允许能带和光子带隙。

“光子晶体掺杂” 是指在光子晶体中人为引入局部结构或介电常数变化，破坏局部周期性，在原有光子带隙中引入允许的缺陷态。低频模主要集中在高折射率区域，因此带隙下方的能带被称为介质带；高频模主要集中在低折射率区域，因此带隙上方的能带被称为空气带。

1）一维光子晶体掺杂

对于理想一维光子晶体，我们考虑两种介质周期交替排列的一维光子晶体，在布拉格条件附近，该结构具有高反射光子带隙。

PS：如果采用四分之一波设计，则为中心波长附近布拉格反射很强。

此时我们引入缺陷，在周期结构中央插入一个不同的介质层，会在光子带隙中形成一个缺陷模。其透射谱通常表现为，原带隙中大部分频率仍被强烈反射；在某一特定频率处，出现狭窄的高透射峰（光子晶体缺陷态）。

缺陷结构为什么能透光？

左右两侧的周期光子晶体可以看作两面高反射布拉格镜，中间缺陷层相当于一个光学微腔。带隙内的光不能向左右两侧传播，因此被两侧布拉格反射镜限制在缺陷层附近。如果光在缺陷层中往返一次积累的相位满足谐振条件，就能形成稳定驻波。

一般谐振条件为：，近似忽略反射相位，可见缺陷模的谐振波长主要由缺陷层的光学厚度决定。整体类似一个由两侧光子晶体反射镜构成的Fabry-Pérot 微腔。

缺陷模的场分布：在缺陷模谐振频率处，电磁场在缺陷层中达到最大，进入两侧光子晶体后指数衰减；能量主要局域在缺陷附近，近似为（：缺陷位置，：带隙内Bloch波的衰减常数）。缺陷模位于带隙中央时，离两侧允许能带最远，较大，局域性较强；接近带边时，减小，场向周围光子晶体中延伸得更远。

缺陷层参数如何影响缺陷模？

[1] 增大缺陷层厚度：，（ 缺陷模红移）

如果缺陷层足够厚，微腔可以容纳多个纵向谐振模，带隙中可能出现多个缺陷峰。

[2] 增大缺陷层折射率：（ 缺陷模红移）

[3] 改变缺陷位置

2）二维光子晶体中的缺陷

二维光子晶体中的缺陷，按允许光传播的维数分为点缺陷、线缺陷、面缺陷。点缺陷能够形成光学微腔，线缺陷能够形成光子晶体波导。

• 点缺陷：形成光学微腔

点缺陷在两个平面方向上都尺寸有限，因此缺陷模不能沿平面传播，而是局域在缺陷附近。如果缺陷模频率位于光子带隙中：平面内则由周围光子带隙限制，垂直方向则由光子晶体平板的全反射和辐射抑制限制。因此，点缺陷相当于一个光子晶体微腔。常见点缺陷微腔：

- H0腔：不直接移除孔，主要通过移动周围孔形成局域缺陷；

- H1腔：移除一个空气孔；

- L3腔：沿一条晶格方向移除三个相邻空气孔；

- 纳米梁光子晶体腔：在一维周期纳米梁中引入局部周期或孔尺寸渐变。

点缺陷参数包括

谐振频率、品质因子[（腔内储存能量 / 单位时间损耗功率）*谐振频率]

PS：，品质因子越大，谐振峰越窄，光子在腔内停留时间越长。

模体积，模体积越小，光场局域越强。

光子晶体微腔的优势是同时实现：较高的、很小的，有利于增强光与物质相互作用。

• 线缺陷：形成光子晶体波导

线缺陷是沿某一方向连续破坏晶格周期性，最常见的三角晶格线缺陷波导是 W1 波导，即移除一排空气孔形成一个宽度约为一个晶格周期的通道。

线缺陷在横向由光子带隙限制；纵向仍保持平移周期性，允许传播；垂直方向由平板折射率限制。

点缺陷产生离散缺陷频率；线缺陷沿传播方向具有连续波矢，产生色散曲线，即允许光沿缺陷方向传播的波导模。可以将点缺陷和线缺陷分别归纳为，光子晶体腔与光子晶体波导。

注：线缺陷波导能导光 !!!

设线缺陷模式的频率位于周围完整光子晶体的带隙中。由于周围光子晶体在该频率处不存在允许的平面传播模式，光不能从缺陷通道横向进入周期区域，只能沿缺陷方向传播。

相较普通硅波导横向限制主要依靠芯层与包层的折射率差，光子晶体线缺陷的平面内横向限制主要依靠光子带隙。因此，光子晶体波导可以实现很小的弯曲半径、强色散工程、慢光传播、小尺寸波导和微腔耦合。

• 多缺陷与缺陷态耦合

[1] 两个相同且相距较近的点缺陷会发生倏逝场耦合。单个缺陷原本具有一个谐振频率。耦合后，简并模会分裂，，缺陷距离越近，场重叠越强，频率分裂越大。

[2] 如果许多相同点缺陷周期排列，每个缺陷的局域态相互耦合，原来的单一离散缺陷能级会扩展为一条缺陷能带。（像固体中许多杂质能级耦合形成杂质带），这是耦合腔波导，可以实现较强的色散和群速度控制。

• 缺陷模的调控规律

改变缺陷尺寸，改变周围孔的位置，改变材料折射率......

PS - QRNG：光子晶体微腔 / 点缺陷可以形成超小模体积微腔、高谐振器、窄带滤波器、折射率传感器、光与物质相互作用增强结构......光子晶体波导 / 线缺陷可以形成超紧凑波导、小半径弯曲、慢光波导、强色散器件、波导-腔耦合结构......滤波与上下话路 / 将点缺陷腔放在线缺陷波导旁边，可以形成侧耦合谐振滤波器。只有与腔模频率匹配的光才会与缺陷腔发生强耦合，从而实现选频、下载、滤波、通道选择。光子晶体掺杂可能在后续 QRNG 集成化中发挥作用，如缺陷腔实现紧凑窄带滤波、抑制泵浦或杂散光、进行片上波长选择、增强弱光探测器附近的局部场、构造高灵敏度温度或工艺监测结构、利用线缺陷实现慢光和增强相互作用、探索新型片上量子光学熵源。