对偶空间

线性无关
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，\(S = \{ v_1, v_2, \cdots, v_m \},\quad m \geq 0\) 是 \(V\) 中的一个有限向量组（按顺序列出的一组向量），\(S\) 称为线性无关，若满足以下条件：

\[\forall c_1, c_2, \cdots, c_m \in \mathbb{F},\quad c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots c_m \mathbf{v}_m = \mathbf{0}_{V} \implies c_1 = c_2 = \cdots c_m = 0_{\mathbb{F}} \]

线性映射
设 \(V, W\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，一个映射 \(T: V \to W\) 称为线性映射，若果满足：

\[\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V, \forall \lambda \in \mathbb{F}: \begin{cases} T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),\quad \text{(可加性)} \\ T(\lambda \mathbf{v}) = \lambda T(\mathbf{v}),\quad \text{(齐次性)} \\ \end{cases} \]

记 \(\text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\) 为所有这种线性映射的集合。

线性映射的核（Kernel）与像（Image）
对于线性映射 \(T: V \to W\) ：

• 核：\(\text{ker} T = \{v \in V \mid T(v) = 0 \}\)
• 像：\(\text{im} T = \{T(v) \mid v \in V \} \subseteq W\)

当线性映射 \(T\) 用矩阵表示时，核能叫做零空间，像能叫做列空间。

维数
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间

1. 若 \(V\) 中存在一个由有限个向量组成的基 \(B = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}\) ，则称 \(V\) 是有限维的，并定义其维数为基中向量的个数，记作： \(\text{dim}_{\mathbb{F}} V = n\) 。
2. 若 \(V\) 中不存在有限基，则称 \(V\) 是无限维的，记作 \(\text{dim}_{\mathbb{F}} V = \infty\) 。
3. 特别的，零空间 \(\{ \mathbf{0} \}\) 的基定义为空集 \(\emptyset\) ，故 \(\text{dim} \{ \mathbf{0} \} = 0\) 。

\(\text{dim}(\text{ker}T)\) 也叫做 \(\text{nullity}(T)\) ，称作零化度。\(\text{dim}(\text{im}T)\) 也叫做 \(\text{rank}(T)\) ，称作秩。

秩—零化度定理（Rank–Nullity Theorem）
若 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的有限维向量空间，\(T: V \to W\) 是线性映射，则

\[\text{rank}(T) + \text{nullity}(T) = \text{dim} V \]

证明：
设 \(\text{dim} V = n\) ，\(\text{dim}(\text{ker} T) = k,\quad (k \leq n)\) 。取 \(\text{ker} T\) 的一组基

\[u_1, u_2, \cdots, u_k \]

并将扩张为 \(V\) 的一组基

\[u_1, u_2, \cdots, u_k, v_{k + 1}, \cdots, v_{n} \]

下证明 \(\{T(v_{k + 1}, \cdots, T(v_{n}))\}\) 是 \(\text{im} V\) 的一组基。
先证张成性。\(\forall w \in \text{im} T, \exists v \in V,\quad w = T(v)\) 满足

\[v = \sum_{i = 1}^{k} a_i u_i + \sum_{j = k + 1}^{n} b_j v_j \]

由 \(T(u_i) = 0\) 故

\[w = \sum_{j = k + 1}^{n} b_j T(v_j) \]

张成性成立。
再证线性无关性。设 \(\sum_{j = k + 1}^{n} c_j T(v_j) = \mathbf{0}\) ，则 \(T \left ( \sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j \right ) = \mathbf{0}\) ，则 \(\sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j \in \text{ker} V\) ，于是它可以被 \(u_1, u_2, \cdots, u_k\) 线性表示即

\[\sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j = \sum_{i = 1}^{k} d_j v_j \]

移向 \(\sum_{i = 1}^{k} -d_j v_j + \sum_{j = k + 1}^{n} c_j v_j = \mathbf{0}\) ，由 \(u_1, u_2, \cdots, u_k, v_{k + 1}, \cdots, v_{n}\) 是 \(V\) 的基，则 \(-d_1, -d_2, \cdots, -d_k, c_{k + 1}, \cdots, c_{n}\) 都为 \(0\) ，故 \(c_{k + 1}, \cdots, c_{n}\) 都为 \(0\) ，于是 线性无关成立。

因此 \(\text{dim} V - \text{dim}(\ker V) = \text{dim}(\text{im} V)\) ，即 \(\text{dim} V = \text{dim}(\text{im} V) + \text{dim}(\ker V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T)\) 。
\(\square\)

同构

线性泛函
设 \(V\) 是定义在数域 \(\mathbb{F}\) 上的一个向量空间，一个泛函 \(f\) 是 \(V\) 到其基域 \(F\) 的一个映射 \(\phi\)

\[\phi : V \to \mathbb{F} \]

如果 \(\phi\) 是线性映射，即满足以下性质

1. 可加性

\[\phi(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \phi(\mathbf{u}) + \phi(\mathbf{v}),\quad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \]

2. 齐次性

\[\phi(\alpha \mathbf{v}) = \alpha \phi(\mathbf{v}),\quad \forall \alpha \in \mathbb{F}, \forall \mathbf{v} \in V \]

则，这个泛函称为线性泛函。

线性映射空间
设 \(V, W\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，令 \(S\) 表示所有这种线性映射 \(T: V \to W\) 构成的集合。其中的元素配备两个逐点运算

1. 向量加法

\[\forall T_1, T_2 \in S, \forall \mathbf{v} \in V, \quad (T_1 + T_2)(\mathbf{v}) := T_1(\mathbf{v}) + T_2{\mathbf{v}} \]

2. 标量乘法

\[\forall T \in S, \forall \mathbf{v} \in V, \forall \lambda \in \mathbb{F}, \quad (\lambda T)(\mathbf{v}) = \lambda \cdot T(\mathbf{v}) \]

则称这个向量空间为 \(\text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, W)\) ，称为线性映射空间。

对偶空间
设 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，定义 \(V^{*} = \text{Hom}_{\mathbb{F}}(V, \mathbb{F})\) 并在其上配备两种运算：