考试时间：180 分钟 满分：150 分
一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
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当 \(x \to 0^+\) 时，下列无穷小量中与 \(x\) 等价的是 ( )
A. \(e^{-\sin x} - 1\)
B. \(\sqrt{x+1} - \cos x\)
C. \(1 - \cos \sqrt{2x}\)
D. \(1 - \dfrac{\ln(1+x)}{x}\) -
设函数 \(f(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t \, dt\)，\(g(x) = \int_0^x e^{t^2} dt \cdot \sin^2 x\)，则 ( )
A. \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极值点，也是 \(g(x)\) 的极值点
B. \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极值点，\((0,0)\) 是曲线 \(y=g(x)\) 的拐点
C. \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极大值点，\((0,0)\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的拐点
D. \((0,0)\) 是曲线 \(y=f(x)\) 的拐点，\((0,0)\) 也是曲线 \(y=g(x)\) 的拐点 -
设 \(k\) 为常数，则级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left[ \frac{1}{n} - \ln\left(1 + \frac{k}{n^2}\right) \right]\) ( )
A. 绝对收敛
B. 条件收敛
C. 发散
D. 敛散性与 \(k\) 的取值有关 -
设函数 \(f(x)\) 连续，则 \(\int_0^1 dy \int_y^1 f(x) dx =\) ( )
A. \(\int_0^1 x f(x) dx\)
B. \(\int_0^1 (x+1) f(x) dx\)
C. \(\int_0^1 (x-1) f(x) dx\)
D. \(\int_0^1 (1-x) f(x) dx\) -
设 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(m \times n\) 矩阵，\(\boldsymbol{\beta}\) 是 \(m\) 维非零列向量。若 \(\boldsymbol{A}\) 有 \(k\) 阶非零子式，则 ( )
A. 当 \(k=m\) 时，\(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\beta}\) 必有解
B. 当 \(k=m\) 时，\(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\beta}\) 必无解
C. 当 \(k<m\) 时，\(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\beta}\) 必有解
D. 当 \(k<m\) 时，\(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{\beta}\) 必无解 -
设 \(\boldsymbol{A}\) 为 3 阶矩阵，则“\(\boldsymbol{A}^3 - \boldsymbol{A}^2\) 可对角化”是“\(\boldsymbol{A}\) 可对角化”的 ( )
A. 充分必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充分但不必要条件
D. 既不充分也不必要条件 -
设矩阵 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -a \end{pmatrix}, \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix}\)，若 \(f(x,y) = |x\boldsymbol{A} + y\boldsymbol{B}|\) 是正定二次型，则 \(a\) 的取值范围是 ( )
A. \((0, 2-\sqrt{3})\)
B. \((2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})\)
C. \((2+\sqrt{3}, 4)\)
D. \((0, 4)\) -
设随机变量 \(X \sim N(-1, 1), Y \sim N(1, 2)\)，且 \(X\) 与 \(X+2Y\) 不相关，则 \(X\) 与 \(X-Y\) 的相关系数为 ( )
A. \(1/3\)
B. \(1/2\)
C. \(2/3\)
D. \(3/4\) -
设 \(X_1, X_2, \dots, X_{20}\) 是来自总体 \(B(1, 0.1)\) 的简单随机样本。令 \(T = \sum_{i=1}^{20} X_i\)，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得 \(P\{T \leq 1\} \approx\) ( )
A. \(1/e^2\)
B. \(2/e^2\)
C. \(3/e^2\)
D. \(4/e^2\) -
设总体 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\)，\(x_1, x_2, \dots, x_n\) 为简单随机样本，样本的经验分布函数为 \(F_n(x)\)。对于给定的 \(X\) (\(0 < F(x) < 1\))，\(D(F_n(x)) =\) ( )
A. \(F(x)(1-F(x))\)
B. \((F(x))^2\)
C. \(\frac{1}{n} F(x)(1-F(x))\)
D. \(\frac{1}{n} (F(x))^2\)
二、填空题：11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分。
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设 \(g(x)\) 是函数 \(f(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{3+x}{3-x}\) 的反函数，则曲线 \(y=g(x)\) 的渐近线方程为 ________。
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设 \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2x+a)}\,dx = \ln 2\)，则 \(a =\) ________。
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微分方程 \(xy' - y + x^2 e^x = 0\) 满足条件 \(y(1) = -e\) 的解为 \(y =\) ________。
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已知函数 \(z = z(x,y)\) 由 \(z + \ln z - \int_0^{x+y^2} e^{-t^2} dt = 1\) 确定，则 \(\left.\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(0,0)} =\) ________。
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已知 \(f(x) = \begin{vmatrix} 2x+1 & 3 & 2x+1 & 1 \\ 2x & -3 & 4x & -2 \\ 2x+1 & 2 & 2x+1 & 1 \\ 2x & -4 & 4x & -1 \end{vmatrix}\)，则方程 \(f(x) = 0\) 的不同实根的个数为 ________。
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设 \(A, B, C\) 为三个随机事件，且 \(A\) 与 \(B\) 相互独立，\(B\) 与 \(C\) 相互独立，\(A\) 与 \(C\) 互不相容。已知 \(P(A) = P(C) = 1/4, P(B) = 1/2\)，则在 \(A, B, C\) 至少有一个发生的条件下，\(A, B, C\) 中恰有一个发生的概率为 ________。
三、解答题：17～22 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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(本题满分 10 分)
计算不定积分 \(\displaystyle \int \frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}\, dx\)。 -
(本题满分 12 分)
设函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续，且 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x f(x) - e^{2\sin x} + 1}{\ln(1+x) + \ln(1-x)} = -3\)。证明 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处可导，并求 \(f'(0)\)。 -
(本题满分 12 分)
已知平面有界区域 \(D = \{(x,y) \mid y^2 \leq x, \; x^2 \leq y\}\)，计算二重积分 \(\displaystyle \iint_D (x-y+1)^2 \, dx\,dy\)。 -
(本题满分 12 分)
设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b)\) 内可导。证明：导函数 \(f'(x)\) 在 \((a,b)\) 内严格单调增加的充分必要条件是：对 \((a,b)\) 内任意的 \(x_1, x_2, x_3\)，当 \(x_1 < x_2 < x_3\) 时，有\[\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}. \] -
(本题满分 12 分)
设矩阵 \(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3 \end{pmatrix}\) 的秩为 2。
(1) 求 \(a\) 的值；
(2) 求 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量组的一个极大线性无关组 \(\boldsymbol{\alpha, \beta}\)，并求矩阵 \(\boldsymbol{H}\)，使得 \(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{GH}\)，其中 \(\boldsymbol{G} = (\boldsymbol{\alpha, \beta})\)。 -
(本题满分 12 分)
投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 \(Y\) 与损失额 \(X\) 的关系为 \(Y = \max(0, X-100)\)。已知 \(X\) 的概率密度为 \(f(x) = \dfrac{2 \times 100^2}{(100+x)^3}\ (x>0)\)。
(1) 求 \(P\{Y>0\}\) 及 \(EY\)；
(2) 设该类损失事件一年内发生的次数 \(N \sim P(8)\)，理赔次数记为 \(M\)。在 \(N=n\) 的条件下，\(M \sim B(n, p)\)，其中 \(p=P\{Y>0\}\)。求 \(M\) 的概率分布。
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【解析】
一、选择题（1～10 小题，每小题 5 分）
第 1 题
答案：C
当 \(x \to 0^+\) 时，
故与 \(x\) 等价。A 等价于 \(-x\)，B 等价于 \(\frac{x}{2}\)，D 等价于 \(\frac{x}{2}\)。
第 2 题
答案：B
\(f'(x)=e^{x^2}\sin x\)，\(f''(0)=1>0\)，故 \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极小值点，不是拐点。
\(g(x)=\left(\int_0^x e^{t^2}dt\right)\sin^2 x \sim x^3\)，故 \(x=0\) 不是极值点，但 \((0,0)\) 是拐点。选 B。
第 3 题
答案：B
通项绝对值 \(a_n=\frac1n-\ln(1+\frac{k}{n^2}) \sim \frac1n\)，故不绝对收敛。
又 \(a_n\) 单调递减趋于 0，由莱布尼茨判别法，级数条件收敛。
第 4 题
答案：A
交换积分次序：
第 5 题
答案：A
若 \(k=m\)，则 \(r(A)=m\)（行满秩），增广矩阵秩也为 \(m\)，故 \(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{\beta}\) 必有解。
第 6 题
答案：B
若 \(\boldsymbol{A}\) 可对角化，则 \(\boldsymbol{A}^3-\boldsymbol{A}^2\) 也可对角化；反之不成立。故为必要不充分条件。
第 7 题
答案：B
正定需 \(4-a>0\) 且 \(a(4-a)-1>0\)，解得
第 8 题
答案：D
由 \(\operatorname{Cov}(X,X+2Y)=1+2\operatorname{Cov}(X,Y)=0\)，得 \(\operatorname{Cov}(X,Y)=-\frac12\)。
第 9 题
答案：C
\(T\sim B(20,0.1)\)，用泊松近似 \(\lambda=2\)，
第 10 题
答案：C
对固定 \(x\)，\(nF_n(x)\sim B(n,F(x))\)，故
二、填空题（11～16 小题，每小题 5 分）
第 11 题
答案：\(y=3,\; y=-3\)
原函数 \(f(x)\) 有垂直渐近线 \(x=\pm3\)，反函数有水平渐近线 \(y=\pm3\)。
第 12 题
答案：\(2\)
令 \(\ln(1+\frac a2)=\ln2\)，得 \(a=2\)。
第 13 题
答案：\(y=-xe^x\)
解一阶线性方程 \(y'-\frac1x y=-xe^x\)，通解 \(y=Cx-xe^x\)，代入 \(y(1)=-e\) 得 \(C=0\)。
第 14 题
答案：\(\frac18\)
由隐函数求导，在 \((0,0)\) 处 \(z=1\)，\(z_x=\frac12\)，再求二阶导得 \(z_{xx}=\frac18\)。
第 15 题
答案：\(2\)
行列式化简后 \(f(x)=(2x+1)(2x)\)，根为 \(x=-\frac12\) 和 \(x=0\)，共 2 个不同实根。
第 16 题
答案：\(\frac23\)
\(P(A\cup B\cup C)=\frac34\)，恰有一个发生的概率 \(=\frac12\)，条件概率 \(=\frac{1/2}{3/4}=\frac23\)。
三、解答题（17～22 小题，共 70 分）
第 17 题（10 分）
计算
设
解得 \(A=\frac15,\;B=-\frac15,\;C=\frac35\)。
于是
第 18 题（12 分）
已知
分母 \(\ln(1+x)+\ln(1-x)=\ln(1-x^2)\sim -x^2\)。
因此分子必须与 \(3x^2\) 等价：
而 \(e^{2\sin x}-1\sim 2x\)，故
所以 \(f'(0)=3\)，且 \(f(0)=2\)，故可导。
第 19 题（12 分）
区域 \(D:\;0\le x\le1,\;x^2\le y\le\sqrt{x}\)。
利用对称性，
对称性得 \(\iint_D (x-y)=0\)。
面积
故
所以原积分
第 20 题（12 分）
证明：
充分性：若 \(f'\) 严格增，由拉格朗日中值定理，存在 \(\xi_1\in(x_1,x_2),\xi_2\in(x_2,x_3)\)，使
必要性：若对任意 \(x_1<x_2<x_3\) 有上述不等式，任取 \(a<b\)，令 \(x_1=a,\;x_2\to a^+,\;x_3=b\)，得
再令 \(x_1=a,\;x_2\to b^-,\;x_3=b\)，得
且由严格不等式取极限可排除等号，故 \(f'(a)<f'(b)\)，即 \(f'\) 严格单调增加。
第 21 题（12 分）
(1) 对矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 作初等行变换：
秩为 2，则第三行为零行，故 \(a-1=0\) 且 \(2-2a=0\)，得 \(a=1\)。
(2) 当 \(a=1\) 时，
列向量组的极大无关组可取第 1、2 列：
令 \(\boldsymbol{G}=(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})\)，则
满足 \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{GH}\)。
第 22 题（12 分）
(1) \(Y=\max(0,X-100)\)，
(2) 已知 \(N\sim P(8)\)，且给定 \(N=n\) 时，\(M\sim B(n,p)\)，其中 \(p=\frac14\)。
由泊松复合性质，\(M\sim P(8p)=P(2)\)。故