CF869E The Untended Antiquity
若两个点在同一个矩形中，其可互相到达。等价于若包含两个点的矩形集合相同，两点可互相到达。但是维护集合太过困难，所以考虑给集合赋随机权值进行 hash，则相当于矩形异或，单点求值。使用二维树状数组即可。
P5524 [Ynoi2012] NOIP2015 充满了希望
先考虑第 \(q\) 次操作为查询 \(x\) 位置的值，则可以从第 \(q\) 次操作往前推，遇到交换两个数若包含 \(x\) 就交换，遇到区间赋值的时候若包含 \(x\) 就代表 \(x\) 最终的值，同时其有值的条件为询问的操作区间左端点需要小于等于当前操作。但是从每个 \(3\) 询问向前推复杂度太大，而从前向后推是等价的，所以只需要维护每个位置最后一次被赋值所在的操作数即可，线段树维护。
现在有若干个三元组 \((l,r,v)\) 表示若询问的操作区间 \(L \le l \land R \ge r\)，则该三元组贡献为 \(v\)，即二位数点。离线下来即可。
P14761 [Opoi 2025] CCD 的序列
发现询问等价于求出 \([l,r]\) 中有多少未在区间内匹配的括号数，将括号视为 \(+1,-1\) 序列，求出其前缀和，则答案为 \(sum_{l-1} - \min_{i=l-1}^r sum_i + sum_r - \min_{i=l-1}^r sum_i\)，前者为剩下左括号数量，后者为剩下右括号数量。由于带插入操作，所以平衡树维护即可。
P11660 我终将成为你的倒影
首先 \(a \leftarrow a \bmod b\)，则 \(a,b \le 500\)。而 \(500\) 接近 \(\sqrt{n}\)，考虑根号数据结构。
考虑分块求解，散块是容易的，难点为整块。考虑暴力枚举 \(b\)，对于每个点，其合法的 \(a\) 均为一段区间，可以使用差分直接加到其对应的整块上，然后做前缀和即可。时间复杂度 \(O(m(S+\dfrac{n}{S})+Bn+B^2\dfrac{n}{S})\)，其中 \(S\) 为块长，\(B\) 为 \(b\) 值域。平衡一下得到 \(S=B\)。空间复杂度为 \(B^2 \dfrac{n}{S}\)。