zju博士资格考试考前复习（微分方程方向）ode 部分

资料：21-22 / 23-24 ode课程资料

只整理计算部分，现在已经不会计算了。。。

例题一做就是 40min 起步。。。。。。

1. 线性方程

\[u' = fu + g \]

通解

\[F(t) = \int f(t)dt, u(t) = (\int e^{-F(t)}g(t)dt + C)e^{F(t)} \]

2. 恰当方程

对方程 \(Pdx + Qdy = 0\)，如果存在原函数，即存在 \(F\) 使得 \(dF = Pdx + Qdy\)，则方程是恰当方程，解为 \(F = C\)。

存在原函数等价于 \(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = 0\)。

恰当因子：函数 \(\mu\) 使得 \(\mu Pdx + \mu Qdy = 0\) 是恰当方程。常见因子可以试 \(x^\alpha y^\beta\)（有固定的公式但是非常复杂，不如现解）

只和 \(x\) 有关的恰当因子

设 \(M(x)Pdx + M(x)Qdy\) 是恰当方程，即

\[\frac{\partial (M(x)P)}{\partial y} - \frac{\partial M(x)Q}{\partial x} = 0 \]

即

\[\frac 1Q(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}) = \frac 1M\frac{dM}{dx} := R(x) \]

时，方程有恰当因子 \(M(x) = e^{R(x)}\)。

3. 伯努利方程

\[u' = fu + gu^\alpha. \]

令 \(v = u^{1-\alpha}\)，则 \(u = v^{\frac1{1-\alpha}}, u' = \frac{1}{1-\alpha}v^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}v'\)。原方程化为

\[\frac 1{1-\alpha}v^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}v' = fv^{\frac1{1-\alpha}} + gv^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}. \]

即

\[v' = (1-\alpha)(fv + g). \]

然后转线性方程解。

4. 其他一阶方程

参变转换

把 \(x\) 看成关于 \(y\) 的函数。反函数定理 \(\frac{dy}{dx} = \dfrac 1{\frac{dx}{dy}}\)。

齐次方程

令 \(z = \frac yx\)，则方程可化为 \(y' = h(z)\)。而 \(y' = (z(x)x)' = z + z'x\)。即解 \(z + z'x = h(z)\)。然后参变转换。

不含自变量的二阶方程

令 \(z = y'\)，将 \(z\) 作为 \(y\) 的函数，则 \(y'' = \frac d{dx}\frac{dy}{dx} = \frac {dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} = zz'\)。然后解一阶方程即可。

例：\(y'' = \sin y\)

已知特解的含 \(y^2\) 或 \(y''\) 的方程

令 \(z = y - y^*\) 消去不含 \(y\) 的项，然后转为已解决的问题。

5. 高阶齐次方程

\[p(\frac d{dt})u = 0, p\in \mathbb P^n \]

Step 1.

求 \(p(z) = 0\) 的全体复根 \(\lambda_1, \dots, \lambda_r, \alpha_1 \pm \beta_1\text i, \dots, \alpha_s\pm \beta_s\text i\)。

Step 2.

对实根 \(\lambda_j\)，若其重数为 \(m_j\)，则有基解

\[(C_{j,0} + C_{j,1}t + \dots + C_{j,m_j-1}t^{m_j-1})e^{\lambda_jt}. \]

对共轭复根 \(\alpha_s \pm \beta_s \text i\)，若其重数为 \(m_j\)，则有基解

\[(C_{j,0} + C_{j,1}t + \dots + C_{j,m_j-1}t^{m_j-1})e^{\alpha_j t}\cos \beta_jt + (C'_{j,0} + C'_{j,1}t + \dots + C'_{j,m_j-1}t^{m_j-1}) e^{\alpha_jt}\sin\beta_jt. \]

6. 高阶非齐次方程

待定系数法

\[p(\frac d{dt})u = f, p\in \mathbb P^n \]

当 \(f\) 仅包含 \(t^ke^{at} \cos bt, t^k e^{at}\sin bt\)（\(k,a,b\) 可能为零）的线性组合时，可用待定系数法求特解。

若 \(a\pm b\text i\) 是 \(p(z)=0\) 的 \(m\) 次复根，则特解中包含

\[(A_0 + A_1t + \dots + A_{l-1}t)e^{at}\cos bt + (B_0 + B_1t + \dots + B_{l-1}t)e^{at}\sin bt. \]

其中

\[l = \begin{aligned} & k+1, & m \leq k; \\ & m, & m > k. \\ \end{aligned} \]

常数变易法

当高阶非齐次方程的右端项 \(f\) 包含不能由上述组合表示的项（例如 \(\frac 1{1+t^2}\)）时，需要用常数变易法降次。以二阶方程为例。

\[u'' - (\alpha + \beta)u' + \alpha\beta u = f(t) \]

令 \(v = u' - \alpha u\)，则

\[(u'-\alpha u)' - \beta(u'-u) = f(t) \]

即

\[v' - \beta v = f(t) \]

解一阶线性方程得到 \(v\)，进而回代解出 \(u\)。

（虚根的没做过，不会）

7. Euler 方程

\[p(t\frac d{dt})u = 0 \]

令 \(t = e^s\)，则 \(s = \log t\)，进而

\[\begin{aligned} t\frac {du}{dt} = & t\frac {du}{ds} \frac{ds}{dt} = \frac{du}{ds}; \\ t^2\frac {d^2u}{dt^2} = & t^2\frac d{dt}(\frac {du}{dt}) = t^2\frac d{dt}(\frac 1t\frac{du}{ds}) = -\frac{du}{ds} + t\frac d{dt}(\frac {du}{ds}) = -\frac{du}{ds} + \frac {d^2u}{ds^2};\\ t^3\frac {d^3u}{dt^3} = & t^3\frac d{dt}(\frac {d^2u}{dt^2}) = t^3\frac d{dt}(\frac 1{t^2}(-\frac {du}{ds} + \frac{d^2u}{ds^2})) = -2(-\frac {du}{ds} + \frac{d^2u}{ds^2}) + t\frac d{dt}(-\frac{du}{ds} + \frac{d^2u}{ds^2}) = 2\frac{du}{ds} - 3\frac{d^2u}{ds^2} + \frac{d^3u}{ds^3}; \\ \dots \end{aligned} \]

这玩意前面的系数其实是第一类斯特林数（X）

这样就将 Euler 方程转化为 \(u(s)\) 的线性方程。

8. 常系数齐次线性方程组

\[\mathbf x' = A\mathbf{x}, A\in \mathbb R^{n\times n} \]

基解矩阵

\[\Phi(t) = \begin{bmatrix}\mathbf x_1(t) & \mathbf x_2(t) & \dots & \mathbf x_n(t)\end{bmatrix} \]

其中 \(\mathbf x_1(t), \dots, \mathbf x_n(t)\) 是 \(n\) 个线性无关的解。原方程组的解是 \(\mathbf x(t) = \Phi(t)\mathbf c\)。

设 \(A\) 有实特征根 \(\lambda\)，重数为 \(m\)。解

\[(A-\lambda I)\mathbf y_0 = \mathbf 0 \]

得非零解 \(\mathbf y_0\)。将 \(e^{\lambda t}\mathbf y_0\) 加入基解矩阵中。

再解

\[(A - \lambda I)^2\mathbf y_1 = \mathbf 0 \]

得与 \(\mathbf y_0\) 线性无关的非零解 \(\mathbf y_1\)。将 \(te^{\lambda t}\mathbf y_1\) 加入基解矩阵中。

依次类推将 \(\frac {t^j}{j!}e^{\lambda t}\mathbf y_j\) 加入（\(0\leq j < m\)）。

消元法

（解具体的 2、3 阶方程组无特殊情况一律用这个）

例如

\[x' = 2x + y \\ y' = x + 2y \\ \]

代入 \(y = x' - 2x\) 到下式得

\[(x' - 2x)' = x + 2(x' - 2x), \]

即

\[x'' - 4x' + 3x = 0. \]

转二阶常系数方程。三阶同理，先消 \(z\) 代入后再消 \(y\) 变成 \(x\) 的三阶方程。