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📅 发布时间：2026/6/19 3:11:57

6 平面应力应变方程

6.1 平面应力和平面应变基本概念

6.1.1 平面应力

平面应力假定垂直于该平面的法向应力和剪应力为零，通常单元的厚度很薄，且载荷只作用于x-y平面，则可认为是平面应力。

6.1.2 平面应变

平面应变假定垂直于该平面的应变和剪应变为零，且载荷只作用于x-y平面，并且沿长度方向不变化，则可认为是平面应变。

6.1.3 平衡微分方程

考虑如下所示的法向应力、切应力和体力作用下的平面单元：
将x方向的力相加可得：

\[\sum F_{x}=0=\left(\sigma_{x}+\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x} \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y-\sigma_{x} \mathrm{d} y+\left(\tau_{y x}+\frac{\partial \tau_{y x}}{\partial y} \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x-\tau_{y x} \mathrm{d} x+X_{b} \mathrm{d} x \mathrm{d} y=0 \]

简化后有：

\[\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y x}}{\partial y}+X_{b}=0 \]

同理，将y方向的力相加并简化后有：

\[\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{x y}}{\partial x}+Y_{b}=0 \]

绕垂直于xy平面轴的力矩方程（即相对于C点取矩）：

\[\sum M_{c}=0=\tau_{y x} \mathrm{d} y\left(\frac{\mathrm{d} x}{2}\right)+\left(\tau_{y x}+\frac{\partial \tau_{y x}}{\partial x} \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y \frac{\mathrm{d} x}{2}-\tau_{x y} \mathrm{d} x\left(\frac{\mathrm{d} y}{2}\right)-\left(\tau_{x y}+\frac{\partial \tau_{x y}}{\partial y} \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x \frac{\mathrm{d} y}{2}=0 \]

化简并忽略高阶项可得：

\[\tau_{x y}=\tau_{y x} \]

现特将二维推广到三维，如下图所示，可得总平衡方程为：

\[\begin{cases} \frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y x}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{z x}}{\partial z}+X_{b}=0 \\ \frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{x y}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{z y}}{\partial z}+Y_{b}=0 \\ \frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z}+\frac{\partial \tau_{x z}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y z}}{\partial y}+Z_{b}=0 \\ \frac{\partial \tau_{x z}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y z}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z}+Z_{b}=0 \end{cases} \]

\[\tau_{x y}=\tau_{y x}\quad \tau_{x z}=\tau_{z x}\quad \tau_{y z}=\tau_{z y} \]

6.1.4 应变位移和协调方程

先考虑二维状态下应变/位移关系，如下图所示为变形前后状态。
工程应变：

\[\varepsilon_{x}=\frac{A^{\prime} B^{\prime}-A B}{A B} \]

其中

\[(A^{\prime} B^{\prime})^{2}=\left(\mathrm{d} x+\frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d} x\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial x} \mathrm{d} x\right)^{2} \]

由于作用在左右两对面或上下两对面应力分量具有微笑差异，按照连续性假定可用泰勒级数展开，忽略高阶项简化可得：

\[A^{\prime} B^{\prime}=\mathrm{d} x+\frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d} x \]

因此可得

\[\varepsilon_{x}=\frac{\partial u}{\partial x} \]

同理，考虑y向有：

\[\varepsilon_{y}=\frac{\partial v}{\partial y} \]

切应变为两条线之间的夹角，可由下式给出：

\[\gamma_{x y}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \]

考虑三维情况下的z向位移，可得到如下的附加应变/位移方程：

\[\varepsilon_{z}=\frac{\partial w}{\partial z} \]

\[\gamma_{x z}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x} \]

\[\gamma_{y z}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y} \]

协调方程为：

\[\frac{\partial^{2} \gamma_{x y}}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial^{2} \varepsilon_{y}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varepsilon_{x}}{\partial y^{2}} \]

6.1.5 应力/应变关系

仅考虑各向同性的三维应力/应变关系，如下图所示。
考虑图(b)中x方向应力产生的正应变：

\[\varepsilon_{x}^{\prime}=\frac{\sigma_{x}}{E} \]

在考虑图(c)，由于泊松效用影响，y向的应力会产生x向的负应变：

\[\varepsilon_{x}^{\prime \prime}=-\frac{\nu \sigma_{y}}{E} \]

同理，z向应力产生x向的负应变：

\[\varepsilon_{x}^{\prime \prime \prime}=-\frac{\nu \sigma_{z}}{E} \]

叠加上述方程可得x向应变方程为：

\[\varepsilon_{x}=\frac{\sigma_{x}}{E}-\nu \frac{\sigma_{y}}{E}-\nu \frac{\sigma_{z}}{E} \]

同理可得y、z方向应变方程为：

\[\varepsilon_{y}=-\nu \frac{\sigma_{x}}{E}+\frac{\sigma_{y}}{E}-\nu \frac{\sigma_{z}}{E} \]

\[\varepsilon_{z}=-\nu \frac{\sigma_{x}}{E}-\nu \frac{\sigma_{y}}{E}+\frac{\sigma_{z}}{E} \]

解上述方程可得法应力：

\[\sigma_{x}=\frac{E}{(1+\nu)(1-2 \nu)}\left[(1-\nu) \varepsilon_{x}+\nu \varepsilon_{y}+\nu \varepsilon_{z}\right] \]

\[\sigma_{y}=\frac{E}{(1+\nu)(1-2 \nu)}\left[\nu \varepsilon_{x}+(1-\nu) \varepsilon_{y}+\nu \varepsilon_{z}\right] \]

\[\sigma_{z}=\frac{E}{(1+\nu)(1-2 \nu)}\left[\nu \varepsilon_{x}+\nu \varepsilon_{y}+(1-\nu) \varepsilon_{z}\right] \]

切应力和切应变关系：

\[\tau=G \gamma \]

三个不同的切应变为：

\[\gamma_{x y}=\frac{\tau_{x y}}{G}\quad \gamma_{y z}=\frac{\tau_{y z}}{G}\quad \gamma_{z x}=\frac{\tau_{z x}}{G} \]

因此可得切应力为：

\[\tau_{x y}=G \gamma_{x y}\quad \tau_{y z}=G \gamma_{y z}\quad \tau_{z x}=G \gamma_{z x} \]

将应力应变写成矩阵形式：

\[\left\{\begin{array}{l} \varepsilon_{x} \\ \varepsilon_{y} \\ \varepsilon_{z} \\ \gamma_{x y} \\ \gamma_{y z} \\ \gamma_{z x} \end{array}\right\}=\left[\begin{array}{cccccc} \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2 G} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2 G} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2 G} \end{array}\right] \times\left\{\begin{array}{l} \sigma_{x} \\ \sigma_{y} \\ \sigma_{z} \\ \tau_{x y} \\ \tau_{y z} \\ \tau_{z x} \end{array}\right\} \]

\[G=\frac{E}{2(1+\nu)} \]

应力/应变矩阵（本构矩阵）为：

\[[D]=\frac{E}{(1+\nu)(1-2 \nu)}\left[\begin{array}{cccccc} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1-2 \nu}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2 \nu}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2 \nu}{2} \end{array}\right] \]

详细可参阅弹性力学

6.2 二维应力和应变状态

1.二维应力状态

假设一个无限小单元边长为dx和dy，所受的法向应力和剪切应力如下所示：
应力用矩阵形式表达为

\[\{\sigma\}=\left\{\begin{array}{l} \sigma_{x} \\ \sigma_{y} \\ \tau_{x y} \end{array}\right\} \]

有材料力学可知该单元最大、最小法向应力和主应力角

\[\sigma_{1}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{x y}^{2}}=\sigma_{\max } \]

\[\sigma_{2}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}-\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{x y}^{2}}=\sigma_{\min } \]

\[\tan 2 \theta_{0}=\frac{2 \tau_{x y}}{\sigma_{x}-\sigma_{y}} \]

2.二维应变状态

如下图所示，
法应变和剪应变可以表示为：

\[\varepsilon_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}\quad \varepsilon_{y}=\frac{\partial v}{\partial y}\quad \gamma_{x y}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \]

矩阵形式为：

\[\{\varepsilon\}=\left\{\begin{array}{l} \varepsilon_{x} \\ \varepsilon_{y} \\ \gamma_{x y} \end{array}\right\} \]

3.应力-应变关系

（1）平面应力状态下各向同性材料应力-应变关系
对于平面应力状态，假设：

\[\sigma_{z}=\tau_{x z}=\tau_{y z}=0 \]

\[\gamma_{y z}=\gamma_{z x}=0 \]

根据三维应力-应变关系，可得应力状态下应力-应变关系：

\[\{\varepsilon\}=[D]\{\sigma\} \]

\[[D]=\frac{E}{1-\nu^{2}}\left[\begin{array}{ccc} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} \end{array}\right] \]

该矩阵[D]为应力应变矩阵，或本构矩阵
（2）平面应变状态下各向同性材料应力-应变关系
对于平面应变状态，假设：
根据三维应力-应变关系，可得应变状态下应力-应变关系：

3 复变应力函数和裂纹问题的解

3.1 Airy 应力函数

在一个受有应力的固体内部,设想有一个坐标系\(X,Y,Z\).对于每一点\((x,y,z)\)可定义其应力\(σ_x,σ_y,σ_z,τ_{xy},τ_{xz},τ_{yz}.\)在平面应力情况下,\(σ_z=τ_{xz}=τ_{yz}=0\),而对平面应变情况,\(ε_z=0\),从而\(σ_z=ν(σ_x+σ_y).\)
平面问题的平衡方程为(见图6.4)

\[\begin{cases} \frac{\partial σ_x}{\partial x}+\frac{\partial τ_{xy}}{\partial y}=0 \\ \frac{\partial σ_y}{\partial y}+\frac{\partial τ_{xy}}{\partial x}=0 \end{cases}\tag{3.1} \]

如果在\(x\)和\(y\)方向的位移分别为\(u\)和\(v\),则应变的表达式为

\[ε_x=\frac{\partial u}{\partial x},ε_y=\frac{\partial v}{\partial y},τ_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\tag{3.2} \]

应力-应变关系为

\[\begin{cases} Eε_x=σ_x−νσ_y \\ Eε_y=σ_y−νσ_x \\ μτ_{xy}=τ_{xy} \end{cases}\tag{3.3} \]

其中剪切模量\(μ\)与杨氏模量\(E\)的关系为

\[μ=E/2(1+ν) \]

\(ν\)为泊松比.
如果下式成立,

\[σ_x=\frac{\partial^2ψ}{\partial y^2},σ_y=\frac{\partial^2ψ}{\partial x^2},τ_{xy}=−\frac{\partial^2ψ}{\partial x\partial y}\tag{3.4} \]

则平衡方程(3.1)自动满足. 式中函数\(ψ\)称为 Airy 应力函数. 将式(3.2)和式(3.4)代入式(3.3),并微分两次即可导出协调方程:

\[\frac{\partial^4ψ}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4ψ}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{\partial^4ψ}{\partial y^4}=0\tag{3.5} \]

或者

\[∇^2(∇^2ψ)=0\tag{3.6} \]

通常,只要找到一个满足式(3.6)的应力函数\(ψ\),即可求解出线性弹性平面问题. 同时,由式(3.4)求得的应力还必须满足问题的边界条件. 对于某一个特定问题,其应力函数必须根据经验来推定. 这种方法在弹性理论教科书中都有充分的讨论.

3.2 复变应力函数

定义一复变应力函数

\[Z(z)=\text{Re}Z+i\text{Im}Z\ \ 其中z=x+iy\tag{3.7} \]

若\(Z\)为解析函数,那么导数\(\frac{dZ}{dz}\)必定能够确定从而导出 Cauchy-Riemann 条件:

\[\begin{cases} \frac{\partial\text{Re}Z}{\partial x}=\frac{\partial\text{Im}Z}{\partial y}=\text{Re}\frac{dZ}{dz} \\ \frac{\partial\text{Im}Z}{\partial x}=−\frac{\partial\text{Re}Z}{\partial y}=\text{Im}\frac{dZ}{dz} \end{cases}\tag{3.8} \]

Airy 应力函数的一些复变函数形式可用来解裂纹问题\(^{[2-9]}\).对于Ⅰ型裂纹的情况,采用 Westergaard 提出的函数\(^{[3]}\)是很方便的. Sih\(^{[6]}\),Eftis 和 Liebowitz\(^{[7]}\)曾经指出: Westergaard 函数不完全正确,但是就应力奇异项而言,采用 Westergaard 函数并不影响结果.
Westergaard 函数为

\[ψ=\text{Re}\overline{Z}+y\text{Im}\overline{Z}\tag{3.9} \]

其中\(\overline{Z},Z\)和\(Z'\)由以下诸式给出:

\[\frac{d\overline{Z}}{dz}=\overline{Z},\ \frac{d\overline{Z}}{dz}=Z,\ \frac{dZ}{dz}=Z'\tag{3.10} \]

根据 Cauchy-Riemann 方程(3.8)有

\[∇^2\text{Re}Z=∇^2\text{Im}Z=0\tag{3.11} \]

也就是说式(3.9)自动满足协调方程(3.6).
应用式(3.4),诸应力可按下式确定:

\[\begin{cases} σ_x=\text{Re}Z−y\text{Im}Z' \\ σ_y=\text{Re}Z+y\text{Im}Z' \\ τ_{xy}=−y\text{Re}Z' \end{cases}\tag{3.12} \]

任何解析函数\(Z(z)\)都可得到按式(3.12)定义的应力. 所以只须找到一个函数\(Z(z)\),使之同时也满足所考虑问题的边界条件即可. 正如 Sih\(^{[6]}\),Eftis 和 Liebowitz\(^{[6]}\)曾指出的那样,在应用修正的 Westergaard 函数时,式(3.12)必须增加常数项. 这一项仅仅在某些特殊的载荷条件下才不存在,但它们对应力奇异性并没有影响.

3.3 裂纹问题的解

现考虑图3.1所表示的无限大平板受双向应力作用,这是一个Ⅰ型裂纹问题. 在这种情况下应力函数为

\[Z=\frac{σz}{\sqrt{z^2−a^2}},\text{其中}z=x+iy\tag{3.13} \]

除(\(−a≤x≤a,y=0\))以外,此函数是解析的. 边界应力由式(3.12)得出. 在无限远处\(|z|→∞,σ_x=σ_y=σ,τ_{xy}=0\);在裂纹面上\(σ_y=τ_{xy}=0\),这意味着,此函数满足边界条件.
如果将坐标原点取在裂纹顶点,则更为方便,这时\(z\)应以\((z+a)\)代替. 这样就转换成了边界条件未指定的一般问题(图3.2),\(Z\)必须取为

\[Z=\frac{f(z)}{\sqrt{z}}\tag{3.14} \]

此处\(f(z)\)有相当规则的性质,它在原点处必为一实常数. 从而由式(3.12)可知: 裂纹表面上\(σ_y\)和\(τ_{xy}\)均为零,即裂纹两边不受应力.\(f(z)\)在裂纹顶点所要求的实常数由记号\(K_1\)给出,因此

\[\left.Z\right|_{|z|→0}=\frac{K_1}{\sqrt{2πz}}\tag{3.15} \]

从原点取极坐标(图3.2)\(z=re^{iθ}\),由式(3.12)和(3.15)即可算得裂纹顶端附近的应力为

\[\begin{cases} σ_x=\frac{K_1}{\sqrt{2πr}}\cos\frac{θ}{2}\left(1−\sin\frac{θ}{2}\sin\frac{3θ}{2}\right)(−σ) \\ σ_y=\frac{K_1}{\sqrt{2πr}}\cos\frac{θ}{2}\left(1+\sin\frac{θ}{2}\sin\frac{3θ}{2}\right) \\ τ_{xy}=\frac{K_1}{\sqrt{2πr}}\sin\frac{θ}{2}\cos\frac{θ}{2}\cos\frac{3θ}{2} \end{cases}\tag{3.16} \]

或

\[σ_{ij}=\frac{K_1}{\sqrt{2πr}}\cdot f_{ij}(θ) \]

其中\(−σ\)项,就如 Sih\(^{[6]}\),Eftis 和 Liebowitz\(^{[7]}\)指出的,如果正确应用 Westergaard 应力函数,则产生于单向拉伸的情况.但它对奇异项没有影响.
对于平面应力情况\(σ_z=0\),而对于平面应变情况\(σ_z=ν(σ_x+σ_y)\). 在这些公式中的参数\(K\)即是应力强度因子.当\(r→0\)时(在裂纹顶端),应力趋于无穷. 因此,应力强度因子即是裂纹顶端应力奇异性的量度. 因为应力是弹性的,所以必定正比于外加载荷. 对于在无限远处作用单向拉伸应力\(σ\)的情况,这意味着,\(K_1\)必定正比于\(σ\). 为了给式(3.16)中的应力以适当的量纲,\(K_1\)又必须与长度的平方根成正比.而对于无限大平板来说,唯一的特征长度就是裂纹尺寸,因此\(K_1\)必有如下形式:

\[K_1=cσ\sqrt{a}\tag{3.17} \]

现在再回到图3.1所示之双向拉伸这样一种特殊情况,应力函数由式(3.13)给出. 将坐标原点移到裂纹顶点,则式(3.13)变换为

\[Z=\frac{σ(z+a)}{\sqrt{z(z+2a)}}\tag{3.18} \]

比较(3.15)和(3.18)两式,可得

\[K_1=σ\sqrt{πa}\tag{3.19} \]

可以预计到,裂纹对平行于裂纹的应力系没有影响,所以单向拉伸的平板的解与双向拉伸的解相同,(3.17)式中的系数\(c\)等于\(\sqrt{π}.\)
除应力以外,位移同样也能确定. 对于平面应变情况,由式(3.2)和(3.12)可得

\[\begin{cases} v=\frac{1+ν}{E}\left[2(1−ν)\text{Im}\overline{Z}−y\text{Re}Z\right] \\ u=\frac{1+ν}{E}\left[(1−2ν)\text{Re}\overline{Z}−y\text{Im}Z\right] \end{cases}\tag{3.20} \]

从而有

\[\begin{cases} u=2(1+ν)\frac{K_1}{E}\sqrt{\frac{r}{2π}}\cos\frac{θ}{2}\left[1−2ν+\sin^2\frac{θ}{2}\right] \\ v=2(1+ν)\frac{K_1}{E}\sqrt{\frac{r}{2π}}\sin\frac{θ}{2}\left[2−2ν−\cos^2\frac{θ}{2}\right] \end{cases}\tag{3.21} \]

对于\(r≈0\)的区域,式(3.16)是应力场的精确解,在\(r\)比裂纹尺寸小的区域内,它们是适用的. 作为一般解,还应包括\(f(z)\)的高次项. 通解为

\[\begin{split} σ_{ij}=&C_1\left(\frac{r}{a}\right)^{-1/2}f_{1ij}(θ)+C_2\left(\frac{r}{a}\right)^0f_{2ij}(θ) \\ &+C_3\left(\frac{r}{a}\right)^{1/2}f_{3ij}(θ)+\cdots \end{split}\tag{3.22} \]

或

\[σ_{ij}=\frac{C_1}{\sqrt{r}}f_{1ij}(θ)+\sum_{n=1}^∞C_nr^{(n−1)/2}f_{n+1ij}(θ)\tag{3.23} \]

\(r^0\)项保证在离裂纹相当远的地方\(σ_x\)和\(σ_y\)趋近于外加应力\(σ\).而在裂纹顶端附近高次项可以忽略,从而得到式(3.16).

\[σ_{ij}=\frac{C_1}{\sqrt{r}}f_{ij}(θ),\ \ 其中C_1=\frac{K_1}{\sqrt{2π}}\tag{3.24} \]

基于对图3.2和式(3.14)的一般分析,表明Ⅰ型裂纹顶端周围的应力场总有相同的形式,所以对于特定的结构只要确定\(K_1\)就可以了.
分析Ⅱ型和Ⅲ型裂纹问题,可用大致相似的方法.在有关的文献\(^{[4,7]}\)中可找到它们的解.
其结果为
Ⅱ型:

\[\begin{cases} σ_x=−\frac{K_{II}}{\sqrt{2πr}}\sin\frac{θ}{2}\left[2+\cos\frac{θ}{2}\cos\frac{3θ}{2}\right] \\ σ_y=\frac{K_{II}}{\sqrt{2πr}}\sin\frac{θ}{2}\cos\frac{θ}{2}\cos\frac{3θ}{2} \\ τ_{xy}=\frac{K_{II}}{\sqrt{2πr}}\cos\frac{θ}{2}\left[1−\sin\frac{θ}{2}\sin\frac{3θ}{2}\right] \\ σ_z=ν(σ_x+σ_y) \\ τ_{xz}=τ_{yz}=0 \end{cases}\tag{3.25} \]

对于在无限远处受均匀面内剪切\(τ\)的无限大裂纹板:

\[K_{II}=τ\sqrt{πa}\tag{3.26} \]

同样,对于Ⅲ型有

\[\begin{cases} τ_{xz}=−\frac{K_{III}}{\sqrt{2πr}}\sin\frac{θ}{2} \\ τ_{yz}=\frac{K_{III}}{\sqrt{2πr}}\cos\frac{θ}{2} \\ σ_x=σ_y=σ_z=τ_{xy}=0 \end{cases}\tag{3.27} \]

对于许多结构都曾计算过应力强度因子. 其计算方法在十三章中讨论.

附录

1. Westergaard 应力函数

对有裂纹的弹性力学二维问题,用复变应力函数求解较为方便。由弹性力学知道,只要所求二维问题的应力函数满足边界条件的双调和方程即可。对于Ⅰ型裂纹,Westergaard 选取了某一解析函数的一次和二次积分的线性组合作为应力函数来确定裂纹尖端区域的应力场和位移场。
现有一无限大板,具有长为\(2a\)的中心穿透裂纹,在无限远处受双向拉应力\(σ\)的作用,如图3.2.1所示。

Westergaard 应力函数的形式为

\[\varphi=\text{Re}\overline{Z}_1(z)+y\text{Im}\overline{Z}_1(z)\tag{3.2.2} \]

式中:\(\overline{Z}_1(z)\)和\(\overline{Z}_1(z)\)分别为解析函数\(Z_1(z)\)的一次积分和二次积分,\(z = x+\text{i}y\)。
首先证明:\(\varphi\)为应力函数,即满足双调和方程\(\nabla^4\varphi=0\)。

\[\nabla^4\varphi=\left(\frac{\partial}{\partial x^2}+\frac{\partial}{\partial y^2}\right)\times\left(\frac{\partial}{\partial x^2}+\frac{\partial}{\partial y^2}\right)\varphi\tag{3.2.3} \]

因为

\[\nabla^2\varphi=\nabla^2\text{Re}\overline{Z}_1(z)+\nabla^2(y\text{Im}\overline{Z}_1(z))\tag{3.2.4} \]

\(Z_1(z)\)为解析函数,根据解析函数的性质:
(1)解析函数的导数和积分仍为解析函数;
(2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程。
则有

\[\nabla^2\text{Re}\overline{Z}_1(z)=0\tag{3.2.5} \]

将式(3.2.5)代入到式(3.2.4)中则有

\[\begin{split} \nabla^2\varphi&=\nabla^2(y\text{Im}\overline{Z}_1(z))=\frac{\partial^2}{\partial x^2}(y\text{Im}\overline{Z}_1(z))+\frac{\partial^2}{\partial y^2}(y\text{Im}\overline{Z}_1(z)) \\ &=y\frac{\partial^2\text{Im}\overline{Z}_1(z)}{\partial x^2}+\frac{\partial}{\partial y}\left(y\frac{\partial\text{Im}\overline{Z}_1(z)}{\partial y}\right)+\text{Im}\overline{Z}_1(z) \\ &=y\frac{\partial^2\text{Im}\overline{Z}_1(z)}{\partial x^2}+\frac{\partial\text{Im}\overline{Z}_1(z)}{\partial y}+y\frac{\partial^2\text{Im}\overline{Z}_1(z)}{\partial y^2}+\frac{\partial\text{Im}\overline{Z}_1(z)}{\partial y} \\ &=y\nabla^2\text{Im}\overline{Z}_1(z)+2\frac{\partial\text{Im}\overline{Z}_1(z)}{\partial y} \end{split}\tag{3.2.6} \]

根据柯西-黎曼条件,对于解析函数有如下性质

\[\begin{cases} \frac{\partial\text{Re}\overline{Z}(z)}{\partial x}=\frac{\partial\text{Im}\overline{Z}(z)}{\partial y}=\text{Re}\frac{d\overline{Z}(z)}{dz} \\ \frac{\partial\text{Im}\overline{Z}(z)}{\partial x}=-\frac{\partial\text{Re}\overline{Z}(z)}{\partial y}=\text{Im}\frac{d\overline{Z}(z)}{dz} \end{cases}\tag{3.2.7} \]

由式(3.2.7)以及解析函数的性质(2),所以式(3.2.6)中

\[2\frac{\partial\text{Im}\overline{Z}_1(z)}{\partial y}=2\text{Re}Z_1(z)\tag{3.2.8} \]

根据式(3.2.8),则式(3.2.6)就变为

\[\nabla^2\varphi=2\text{Re}Z_1(z)\tag{3.2.9} \]

利用式(3.2.9)和解析函数的性质,则有

\[\nabla^4\varphi=\nabla^2(2\text{Re}Z_1(z))=0\tag{3.2.10} \]

式(3.2.10)说明函数\(\varphi\)是满足双调和方程的,因此是此平面问题的应力函数。
由弹性力学的知识,则应力分量和应力函数要满足如下关系

\[σ_x=\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2},\ σ_y=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2},\ τ_{xy}=-\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}\tag{3.2.11} \]

将式(3.2.2)代入式(3.2.11)中有

\[\begin{cases} σ_x=\text{Re}Z_1(z)-y\text{Im}Z_1'(z) \\ σ_y=\text{Re}Z_1(z)+y\text{Im}Z_1'(z) \\ τ_{xy}=-y\text{Re}Z_1'(z) \end{cases}\tag{3.2.12} \]

\[\begin{cases} σ_z=0\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \text{（平面应力）} \\ σ_z=ν(σ_x+σ_y)=2ν\text{Re}Z_1(z)\quad\text{（平面应变）} \end{cases} \]

式中\(ν\)为泊松比。利用物理方程和几何方程,可以得到在平面状态下\(x\)方向位移\(u\)和\(y\)方向位移\(v\)。在平面应力状态下:

\[\begin{cases} u=\frac{1}{E}\left[(1-ν)\text{Re}\overline{Z}_1(z)-(1+ν)y\text{Im}Z_1(z)\right] \\ v=\frac{1}{E}\left[2\text{Im}\overline{Z}_1(z)+(1+ν)y\text{Re}Z_1(z)\right] \end{cases}\tag{3.2.13a} \]

在平面应变状态下:

\[\begin{cases} u=\frac{1+ν}{E}\left[(1-2ν)\text{Re}\overline{Z}_1(z)-y\text{Im}Z_1(z)\right] \\ v=\frac{1+ν}{E}\left[2(1-ν)\text{Im}\overline{Z}_1(z)-y\text{Re}Z_1(z)\right] \end{cases}\tag{3.2.13b} \]

从式(3.2.12)应力计算公式和式(3.2.13)位移计算公式可以看出,只要找到满足边界条件的复变函数\(Z_1(z)\)就可以了,所以\(Z_1(z)\)的实质就是应力函数,称为复变应力函数,然后利用式(3.2.12)和式(3.2.13)即可以得到对于Ⅰ型裂纹问题的应力场和位移场。

未命名