1. 阶
1.1. 定义
假设模数 m 和底数 a 互质。
对于 \(n\in Z\)，\(a^n \bmod m\) 呈循环结构，这种循环节的最小长度就是 a 模 m 的阶。
准确来说，对于 \(a\bot m\)，满足同余式 \(a^n\equiv 1(\bmod m)\) 的最小正整数 n 称作 a 模 m 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)。
1.2. 幂的循环结构
利用阶，就可以刻画幂的循环结构，对于 \(a^n\bmod m\)，记 \(n=k\delta_m(a)+r\),则 \(a^n\equiv a^r(\bmod m)\)。
性质1：对于 \(a\in Z,m\in N+,a\bot m\)，\(a^0,a^1,\dots a^{\delta_m(a)-1}\) 模 m 余数互不相同。
性质2：对于 \(a,n\in Z,m\in N+,a\bot m\)，\(a^n\equiv 1(\bmod m)\) 成立当且仅当 \(n|\delta_m(a)\)
根据欧拉定理 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1(\bmod m)\)，所以对于所有 \(a\bot m\)，必有 \(\delta_m(a)|\varphi(m)\)，即 \(\varphi(m)\) 是所有 \(a\bot m\) 的阶的公倍数。
性质3：对于 \(a,k\in Z,m\in N+,a\bot m\)，有 \(\delta_m(a^k)=\dfrac{\delta_m(a)}{gcd(\delta_m(a),k)}\)
1.3. 乘积的阶
设 a,b 是与 m 互质的不同整数，已知阶 \(\delta_m(a)\) 和 \(\delta_m(b)\)，那么可以得到：
性质4：
\(\dfrac{[\delta_m(a),\delta_m(b)]}{(\delta_m(a),\delta_m(b))}|\delta_m(ab)|[\delta_m(a),\delta_m(b)]\)
后半部分根据性质2易得，考虑前半段：
因为 \(1\equiv (ab)^{\delta_m(ab)\delta_m(b)}\equiv a^{\delta_m(ab)\delta_m(b)}(\bmod m)\)，所以
\(\delta_m(a)|\delta_m(ab)\delta_m(b)\)
两侧消去 \((\delta_m(a),\delta_m(b))\)，去掉互质部分，得到
同理，
因为左侧互质，所以就是之前的结论了。
同时 \(\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b)\Leftrightarrow \delta_m(a)\bot \delta_m(b)\)
性质5：对于 \(a,b\in Z,m\in N+,a,b\bot m\)，存在 \(c\in Z\) 且 \(c\bot m\) 使得：\(\delta_m(c)=[\delta_m(a),\delta_m(b)]\)
设 \(\delta_m(a)=\prod_p p^{a_p},\delta_m(b)=\prod_p p^{b_p}\)
根据 \(a_p\) 和 \(b_p\) 的大小关系分成两类：
所以：\(\delta_m(a)=xAyA,\delta_m(b)=xByB\)
因为 \(xA\bot xB\)
所以：\(\delta_m(a^{yA}b_{yB})=xAxB=[\delta_m(a),\delta_m(b)]\)