用曲线坐标解二维问题 12

第六章 用曲线坐标解二维问题

§54 复变函数

对于前面解答过的那些问题，直角坐标和极坐标是适用的。对于另外一些边界——椭圆、双曲线、非同心圆以及其他非简单曲线，通常宁愿采用别种坐标，考虑到这些，并且为了构成适当的应力函数，利用复变函数是方便的。
用两个实数x，y构成一个复数x + iy，其中i代表√-1。由于i不定义于实数序列，因而“相等、加、减、乘、除”的意义都必须加以规定。① 规定：x + iy = x' + iy'是指x = x'，y = y'，而i²是指-1，其他运算规定与实数运算相同。例如

\[(x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 - y^2 + i2xy, \]

因为i² = -1。改用极坐标，如图113，有

\[z = x + iy = r(\cosθ + i\sinθ). \tag{a} \]

由于

\[\cosθ + i\sinθ = 1 - \frac{1}{2!}θ^2 + i\frac{1}{1!}θ - i\frac{1}{3!}θ^3 + \dots + \left(θ - \frac{1}{3!}θ^3 + \dots\right), \]

而i² = -1，i³ = -i，i⁴ = 1，等等，因此有

\[\cosθ + i\sinθ = 1 + iθ + \frac{1}{2!}(iθ)^2 + \frac{1}{3!}(iθ)^3 + \dots = e^{iθ}. \]

当θ为实数时，这就是记号e^{iθ}的定义。于是由方程(a)得

\[z = x + iy = re^{iθ}. \tag{160} \]

假如只用解析定义而不用几何定义，就可以用z构成代数函数、三角函数、指数函数、对数函数以及其他函数，就像用实变数构成这些函数一样。这样，“实部”和“虚部”也可用它们的系数来定义。每一个这样的函数都可以分为“实部”和“虚部”，也就是写成a(x,y) + ib(x,y)的形式，其中实部a(x,y)和虚部b(x,y)都是x和y的通常的实函数（不包含i）。例如，设z的函数f(z)是1/z，我们有

\[f(z) = \frac{1}{z} = \frac{x - iy}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{x}{x^2 + y^2} + i\frac{(-y)}{x^2 + y^2}. \tag{b} \]

在分开实部和虚部时，如果有可约的话，引用指数函数最为简捷。例如，

\[\text{sh}z = \frac{1}{2}\left[e^{x + iy} - e^{-(x + iy)}\right] = \frac{1}{2}\left[e^x(\cos y + i\sin y) - e^{-x}(\cos y - i\sin y)\right] = \text{sh}x\cos y + i\text{ch}x\sin y. \]

同样，

\[\text{ch}z = \text{ch}x\cos y + i\text{sh}x\sin y. \]

按定义，一个复函数的共轭函数是把所有的i代以-i而得到的。函数和它的共轭函数的乘积显然是实函数。在式(b)中，为了得到实数的分母，把分子和分母同乘以z + iy的共轭数，即z - iy。遵循这个一般规律，可以把chz的实部和虚部分开：

\[\text{ch}z = \frac{\text{sh}2z - i\sin2y}{\text{ch}2z - \cos2y}. \tag{c} \]

函数f(z)对z的导数定义为

\[\frac{d f(z)}{d z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}, \tag{d} \]

其中Δz = Δx + iΔy，Δz → 0的意义自然是Δx → 0而且Δy → 0。我们总可以把x、y当作一个点在平面内的直角坐标，于是Δx、Δy就代表这一点向邻近一点的位移。可以想到，对于不同的位移方向，f(z)的结果将会不同，但是，式(d)中的极限可能是可用z和Δz直接算出的（就像Δz是实数时一样），而所得的结果，例如

\[\frac{d}{d z}(z^2) = 2z,\quad \frac{d}{d z}\sin z = \cos z, \]

必然与Δz的选择无关，也与Δx和Δy的选择无关。因此，可以说，按照通常方法用z构成的所有函数都具有与实函数相同的性质：它们具有仅仅与z有关的导数；而且对于z处的各个方向都相同，这样的函数称为解析函数。
量z = x - iy可以看作z的函数，是从这个意义来说的：如果z已知，即x和y已知，z = x - iy也就确定。它对z的导数是(Δz + iΔy)/(Δx + iΔy)在Δx → 0，Δy → 0时的极限，这个极限与Δx、Δy的选择有关。如果取位移在x方向，例如Δy = 0，根据是z = iy的解析函数，在y方向，Δx = 0，而极限的值是-1。因此，z = x - iy的x + iy如果取位移后将与解析函数z = x - iy一起构成应力函数。任何一个包含i的函数将被称为“复变函数”。
解析函数f(z)具有不定积分。不定积分的定义是，它对z的导数是f(z)。不定积分写作\(\int f(z)dz\)。例如，设f(z) = 1/z，就有

\[\int \frac{1}{z}dz = \ln z + C, \]

其中的附加常数C现在是包含两个任意实常数A和B的复数A + iB。
注：
① 这些规定是对一种“更通行”的运算，利用i只是为了方便。例如，见E. T. Whittaker and G. N. Watson, Modern Analysis, 3d ed., pp. 6, 8, 1920.
② 必须注意，虽然z的名称是虚数，但它是实函数。

§55 解析函数与拉普拉斯方程

解析函数f(z)可以看作x和y的具有偏导数的函数。于是

\[\frac{\partial}{\partial \overline{z}} f(z) = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\right)f = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right) = f'(z). \tag{a} \]

因为∂z/∂z = 1。同样，

\[\frac{\partial}{\partial \overline{z}} f(z) = f'(z) = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}\right)f(z). \tag{b} \]

因为∂z/∂y = i∂y.
但是，如果把f(z)写成a(x,y) + ib(x,y)的形式，或简写成a + ib，就有

\[\frac{\partial}{\partial x} f(z) = \frac{\partial a}{\partial x} + i\frac{\partial b}{\partial x},\quad \frac{\partial}{\partial y} f(z) = \frac{\partial a}{\partial y} + i\frac{\partial b}{\partial y}. \tag{c} \]

将方程(c)与方程(a)和(b)对比，就得到

\[\frac{\partial a}{\partial x} = \frac{\partial b}{\partial y},\quad \frac{\partial a}{\partial y} = -\frac{\partial b}{\partial x}. \tag{d} \]

注意a、b是实函数，i² = -1，这个等式的意义是两边的实部和虚部分别相等，可见

\[\frac{\partial a}{\partial x} = \frac{\partial b}{\partial y},\quad \frac{\partial a}{\partial y} = -\frac{\partial b}{\partial x}. \tag{e} \]

这就是所谓柯西-黎曼方程。将第一个方程对y求导数，第二个方程对x求导数，再相加，就可消去b而得到

\[\frac{\partial^2 a}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 a}{\partial y^2} = 0. \tag{f} \]

这样形式的方程称为拉普拉斯方程，它的任一个解都称为调和函数。同样，从方程(e)中消去a，得到

\[\frac{\partial^2 b}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 b}{\partial y^2} = 0. \tag{g} \]

因此，如果a和b两个函数是解析函数f(z)的实部和虚部，则每一个函数都将是拉普拉斯方程的解。在很多物理问题（包括弹性理论的问题）中，将会遇到拉普拉斯方程（例如，见§17中的方程(b)）。
函数a和b称为共轭调和函数。显然，如果已知任一调和函数a，就可由方程(e)求得与a共轭的另一调和函数，只是差一个常数。
作为z的解析函数的举例和函数的例子，我们来考察e^{inz}、zⁿ、ln z，其中n是实常数，我们有

\[e^{inz} = e^{inx - ny} = e^{-ny}\cos nx + ie^{-ny}\sin nx, \]

这表明e^{-ny}cos nx和e^{-ny}sin nx是调和函数。将n改成-n，可知e^{ny}cos nx和e^{ny}sin nx也是调和函数，从而可知

\[\text{sh}ny\sin nx,\ \text{ch}ny\sin nx,\ \text{sh}ny\cos nx,\ \text{ch}ny\cos nx \tag{h} \]

也是调和函数，因为它们是可以从前两个函数的相加或相减再乘以1/2而构成的。由

\[z^n = (re^{iθ})^n = r^n e^{inθ} = r^n\cos nθ + ir^n\sin nθ, \]

我们得到调和函数

\[r^n\cos nθ,\ r^n\sin nθ,\ r^{-n}\cos nθ,\ r^{-n}\sin nθ. \tag{i} \]

由

\[\ln z = \ln re^{iθ} = \ln r + iθ, \]

我们得到调和函数

\[\ln r,\ θ. \tag{j} \]

容易证明：函数(i)和(j)满足极坐标中的拉普拉斯方程[见§27中的方程(a)]，也就是

\[\frac{\partial^2 φ}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial φ}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 φ}{\partial θ^2} = 0. \tag{k} \]

习题

1. 试确定复变函数z²、z³、shz的实部和虚部（作为x和y的实函数）。
   答：x² - y², 2xy; x³ - 3xy², 3x²y - y³; shxcosy, chxsiny.
2. 试确定复变函数zⁿ、z⁻ⁿ、lnz的实部和虚部（作为r和θ的实函数）。
   答：rⁿcosnθ, rⁿsinnθ; r⁻ⁿcosnθ, r⁻ⁿsinnθ; lnr, θ.
3. 设ζ是复变数，而z = chζ，试求\(\frac{d}{dζ}\text{sh}nζ,\) 用ζ表示。令ζ = ξ + iη，试求当ζ和η是实数时这个导数的实部和虚部。
4. 设z = x + iy, ζ = α + iη, 试求\(\frac{1}{2}\text{sh}ζ\)（其中ζ是实数）；试证明

\[x = \frac{\text{sh}ξ - \cosη}{chξ - \cosη},\ y = \frac{\text{ch}ξ\sinη}{chξ - \cosη} \]

\[x = \frac{α\sinη}{chξ - \cosη},\ y = \frac{\text{sh}ξ}{chξ - \cosη} \]

§56 用调和函数和复变函数表示的应力函数

设ψ是z和\(\overline{z}\)的任一函数，我们可以通过求导而得到

\[\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)(z\overline{z}) = \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)2 + 2\frac{\partial^2}{\partial y^2}. \tag{a} \]

如果ψ是调和函数，方程右边的括弧就是零。∂ψ/∂z也是调和函数，因为

\[\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)\left(\frac{\partial ψ}{\partial z}\right) = \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial^2 ψ}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 ψ}{\partial y^2}\right) = 0. \]

于是，对(a)再作拉普拉斯运算，即得

\[\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)(z\overline{z}) = 0, \tag{b} \]

也就是

\[\left(\frac{\partial^4}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4}{\partial x^2\partial y^2} + \frac{\partial^4}{\partial y^4}\right)(z\overline{z}) = 0. \]

与§18中方程(a)对比，可知zψ（ψ是调和函数）可以用作应力函数。同样，zψ也可以用作应力函数，当然，函数ψ本身也可以。
通过求导容易证明，(x² + y²)ψ，也就是z\(\overline{z}\)ψ（ψ是调和函数）也满足上面的微分方程，因而也可以作为应力函数。
例如，由前一节的函数(h)中取两个调和函数

\[\text{sh}ny\sin nx,\ \text{ch}ny\sin nx, \]

乘以y，再进行叠加，就得到§24中的应力函数(8)。取前一节中的调和函数(i)和(j)，或者各乘以y、z或zⁿ，即可构成§43中方程(80)所示的极坐标应力函数的各项。
是否任何应力函数都可用这样的方式得到？在把一般应力函数用两个任意解析函数来表示的过程中，这个问题将自然得到回答。
用∇²代表拉普拉斯算子

\[\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \]

则§18中的方程(a)可以写成∇⁴φ(z) = 0 或 ∇²(∇²φ) = 0。将∇²φ(z)它代表σₓ + σᵧ)，或P，可见P是一个调和函数，因而有一个共轭调和函数Q。于是P + iQ是z的解析函数，可以写成

\[f(z) = P + iQ. \tag{e} \]

这个函数对z的积分是另一个解析函数，设为4χ(z)。于是，用p和q代表ψ(z)的实部和虚部，就有

\[ψ(z) = p + iq = \frac{1}{4}\int f(z)dz. \tag{d} \]

而ψ'(z) = f(z)/4，由此又有

\[\frac{\partial p}{\partial x} + i\frac{\partial q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}ψ(z) = \frac{\partial}{\partial \overline{z}}ψ(z) = \frac{1}{4}f(z) = \frac{1}{4}(P + iQ). \]

令最左部分和最右部分的实部相等，就得到

\[\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{1}{4}P. \tag{e} \]

由于p和q是共轭调和函数，它们满足§55中的方程(e)，因而

\[\frac{\partial q}{\partial y} = \frac{1}{4}P. \tag{f} \]

回想到P = ∇²φ，方程(e)和(f)就使得我们能证明φ - zp - qy是调和函数，因为

\[\nabla^2(φ - zp - qy) = \nabla^2φ - z\frac{\partial p}{\partial x} - q\frac{\partial p}{\partial y} = 0. \tag{g} \]

因此，对于任一应力函数φ，我们有

\[φ - zp - qy = p_1, \]

其中p₁是某一个调和函数。于是

\[φ = zp + qy + p_1. \tag{83} \]

这就表示，任何应力函数都可由适当选取的共轭调和函数p、q和一个调和函数p₁构成。
方程(83)在后面很有用，但是，可以看出，p和q两个函数并不是必须用到的。我们可以把方程(g)写作

\[\nabla^2(φ - 2zp) = \nabla^2φ - 2z\frac{\partial p}{\partial x} = 0, \]

这表明φ - 2zp是调和函数，例如等于p₂。于是任何应力函数就一定可以表为

\[φ = 2zp + p_2, \tag{h} \]

其中p和p₂是适当选取的调和函数。同样，考虑φ - 2qy，也可以证明，任何应力函数也一定能够表示为

\[φ = -2qy + p_1. \]

§57 对应于已知应力函数的位移

其中q₁和p₂是适当选取的调和函数。
再回想到(83)的形式，引用p₁的共轭调和函数q₁，并令

\[χ(z) = p₁ + iq₁. \]

于是，容易证明，

\[(z - i\overline{z})(p + iq) + p₁ + iq₁ \]

的实部与方程(83)的右边相同。因此，任何应力函数都可以表示为如下的形式②：

\[φ = \text{Re}[z\overline{ψ(z)} + χ(z)], \tag{84} \]

其中Re的意思是“实部”，z代表z = x - iy，而ψ(z)和χ(z)是适当选取的解析函数。反之，任意选取ψ(z)和χ(z)，(84)能给出一个应力函数，它是§18中方程(a)的解。这在后面求解一些有实际意义的问题时将会用到。
将(84)括弧中的“复应力函数”写成

\[\frac{\overline{z}\overline{ψ(z)}}{z} + χ(z), \]

并注意z\(\overline{z}\) = r²，而\(\overline{ψ(z)}/z\)仍是z的函数，可见任何应力函数又可以表示为

\[r^2p₄ + p₅, \]

其中p₄和p₅是调和函数。
注：
① E. Goursat, Bull. Soc. Math. France, vol. 26, p. 206, 1898. N. I. Muskhelishvili, Math. Ann., vol. 107, pp. 283-312, 1932.

§57 对应于已知应力函数的位移

在§43中曾经指出，确定多连通域内的应力时，须要计算位移，以保证位移是连续的，也就是保证应力不是部分地由于位错而引起的。由于这一原因，以及在有些情况下位移本身还有重要意义，我们需要一个由已知应力函数寻求位移u和v的方法。
对于平面应变，应力-应变关系[方程(22)和(23)]可以写成

\[E\frac{\partial u}{\partial y} = σₓ - νσᵧ,\quad E\frac{\partial v}{\partial x} = σᵧ - νσₓ, \tag{a} \]

\[G\left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right) = τ_{xy}. \tag{b} \]

§58 用复势表示应力和位移

将应力函数代入(a)中的第一式，并且注意P = ∇²φ，就有

\[E\frac{\partial u}{\partial x} - ν\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial^2 φ}{\partial y^2} - ν\frac{\partial^2 φ}{\partial x^2} = -(1 + ν)\frac{\partial^2 φ}{\partial x^2} + P. \tag{c} \]

相似地

\[E\frac{\partial v}{\partial y} - ν\frac{\partial u}{\partial x} = -(1 + ν)\frac{\partial^2 φ}{\partial y^2} + P. \tag{d} \]

但是，由§56的方程(f)和(g)，上面方程中的P可用4∂p/∂x代替，方程(d)中的P可用4∂q/∂y代替，这样，在乘以1 + ν之后，就得到

\[2G\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial^2 φ}{\partial x^2} + \frac{4}{1 + ν}\frac{\partial p}{\partial x},\quad 2G\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial^2 φ}{\partial y^2} + \frac{4}{1 + ν}\frac{\partial q}{\partial y}. \tag{e} \]

积分，得

\[2Gu = -\frac{\partial φ}{\partial x} + \frac{4}{1 + ν}p + f(y), \]

\[2Gv = -\frac{\partial φ}{\partial y} + \frac{4}{1 + ν}q + f₁(x). \tag{f} \]

其中f(y)和f₁(x)是任意函数。将它们代入方程(b)的左边，得到

\[-\frac{\partial^2 φ}{\partial x\partial y} + \frac{4}{1 + ν}\left(\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial q}{\partial x}\right) + \frac{1}{2}\frac{df}{dy} + \frac{1}{2}\frac{df₁}{dx} = τ_{xy}. \tag{g} \]

但左边的第一项等于τ_{xy}，括弧等于零，因为p和q满足柯西-留曼方程的共轭调和函数（见§56）。于是有

\[\frac{df}{dy} + \frac{df₁}{dx} = 0. \]

这表示

\[\frac{df}{dy} = A,\quad \frac{df₁}{dx} = -A, \]

其中A是一个常数。由此可见，方程(f)中的f(y)和f₁(x)两项代表刚体位移。舍去这两项，可将方程(f)写成④

\[2Gu = \frac{\partial φ}{\partial x} + \frac{4}{1 + ν}p,\quad 2Gv = \frac{\partial φ}{\partial y} - \frac{4}{1 + ν}q. \tag{h} \]

在这上面，可以加上任何刚体位移。当ν已知时，这两个方程使我们能求出u和v。首先须求出P作为∇²φ，然后利用柯西-留曼方程

\[\frac{\partial p}{\partial x} = \frac{\partial q}{\partial y}\quad \text{和}\quad \frac{\partial p}{\partial y} = -\frac{\partial q}{\partial x} \]

将第二个方程乘以i，并与第一个方程相加，可将两方程合并为一。这样得

\[\frac{\partial φ}{\partial x} + i\frac{\partial φ}{\partial y} = \overline{ψ(z)} + z\overline{ψ'(z)} + \overline{χ'(z)}. \tag{c} \]

用同样方法将§57的(h)中的两方程合并，得

\[2G(u + iv) = -\left(\frac{\partial φ}{\partial x} + i\frac{\partial φ}{\partial y}\right) + \frac{4}{1 + ν}p + iq, \]

或者，利用§57中的方程(d)和上面的方程(c)，得

\[2G(u + iv) = \frac{3 - ν}{1 + ν}\overline{ψ(z)} - z\overline{ψ'(z)} - \overline{χ'(z)}. \tag{86} \]

当已知复势ψ(z)和χ(z)时，这方程就确定平面应变状态下的u和v。对于平面应力，按照§20，须用(1 - ν²)/E代替方程(86)右边的ν。
应力分量σₓ、σᵧ、τ_{xy}可直接由方程(85)的二阶导数求得，但是，考虑到在后面曲线坐标中的应用，采取另外的方法更好些。将方程(c)对x求导，得

\[\frac{\partial^2 φ}{\partial x^2} + i\frac{\partial^2 φ}{\partial x\partial y} = z\overline{ψ''(z)} + \overline{χ''(z)}. \tag{d} \]

将方程(c)对y求导，并乘以i得

\[i\frac{\partial^2 φ}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^2 φ}{\partial y^2} = \overline{ψ'(z)} + z\overline{ψ''(z)} - \overline{ψ'(z)} + \overline{χ''(z)}. \tag{e} \]

将方程(d)与(e)相减、相加，可得到较简单的形式，这时得②

\[σₓ + σᵧ = 2ψ'(z) + 2\overline{ψ'(z)} = 4\text{Re}[ψ'(z)], \tag{87} \]

\[σₓ - σᵧ + 2iτ_{xy} = 2\overline{z}\overline{ψ''(z)} + 2\overline{χ''(z)}. \tag{88} \]

将方程(88)两边的i改成-i，就又得到一式

\[σₓ - σᵧ - 2iτ_{xy} = 2zψ''(z) + 2χ''(z). \tag{89} \]

将方程(89)或(88)右边的实部与虚部分开，就得σₓ - σᵧ和2τ_{xy}。方程(87)和(89)用复势ψ(z)和χ(z)确定应力分量。因此，选取一定的函数ψ(z)和χ(z)，就由方程(87)和(89)得到一个可能的应力状态，这对应于满足该式的位移也容易由方程(86)求得。
作为这方法的简单例子，我们来考察§18中讨论过的多项式应力函数。例如，五次多项式的应力函数显然可由方程(85)得到，只须取

\[ψ(z) = (a₀ + ib₀)z^2,\quad χ(z) = (c₀ + id₀)z^2, \]

其中a₀、b₀、c₀、d₀都是任意实数。这时

\[ψ'(z) = 4(a₀ + ib₀)z^3,\quad χ'(z) = 5(c₀ + id₀)z^4, \]

\[ψ''(z) = 12(a₀ + ib₀)z^2,\quad χ''(z) = 20(c₀ + id₀)z^3, \]

而方程(87)和(89)给出

\[σₓ + σᵧ = 16\text{Re}[(a₀ + ib₀)z^3] = 3x^2y - y^3 + i(3xy^2 - y^3)] \]

\[σₓ - σᵧ + 2iτ_{xy} = 24[(a₀ + ib₀)z^2 + 20(c₀ + id₀)z^3] = 24[(a₀ + ib₀)z^2 + 20(c₀ + id₀)z^3] \]

\[= 24[(a₀ + ib₀)(x² - y² + i2xy) + 20(c₀ + id₀)(x + iy)^3] \]

\[= 24[a₀(x² - y²) - b₀2xy + i(a₀2xy + b₀(x² - y²))] \]

\[+ 40[c₀(x³ - 3xy²) - d₀(3x²y - y³) + i(c₀(3x²y - y³) + d₀(x³ - 3xy²))]. \]

两个方括号中的表达式分别给出σₓ - σᵧ和2τ_{xy}。对于这一应力分布的位移分量，容易由方程(86)求得为

\[2G(u + iv) = \frac{3 - ν}{1 + ν}(a₀ + ib₀)z^4 - 4(a₀ - ib₀)z^3 - 5(c₀ - id₀)z^4. \]

显然，在一个完整的n次多项式(n > 2)应力函数中，只能有4个独立的实常数。
注：
① 这里的“共轭”的意义与“共轭调和函数”一词中“共轭”的意义完全不同。
② 这些结果以及方程(86)是G. Kolosoff (I. G. Kolosov)得到的，见他的论文：Math. Phys., vol. 2, p. 192, 1909.

§59 曲线上应力的合力、边界条件

图114中的AB是画在薄板上的一个曲线线段。从A向B看时，左边材料对右边材料在弧ds上作用的力可用分量\(\overline{X}\)ds和\(\overline{Y}\)ds代表，于是，由§10的方程(12)有

\[\overline{X} = σₓ\cosα + τ_{xy}\sinα, \]

\[\overline{Y} = σᵧ\sinα + τ_{xy}\cosα. \tag{a} \]