强烈推荐的更好的阅读体验Inference在Bayes Net中Inference的目标是求解一个条件概率P ( Q 1 … Q k ∣ e 1 … e k ) P\big(Q_1 \ldots Q_k \mid e_1 \ldots e_k\big)P(Q1…Qk∣e1…ek),也就是给出一些观测的变量( evidence ),计算查询变量( query variables )的后验概率比如P ( T ∣ e ) P(T \mid e)P(T∣e)就表示着我们要求解当我们已经观察到事件e为真时T为真的概率是多少我们首先能想到的最基础的方法就是直接构造一个完整的概率联合表然后我们用在Note11中提及到的Inference by Enumeration方法,先选择与evidence一致的行再求和最后归一化。但是这样做的问题也很明显问题就在于第一步构造完整概率联合表上假设每个变量都是binary,如果有n个变量那么就会有2 n 2^n2n个rows构造这样大的表很有难度。这就引出来了我们解决问题的方法Variable Elimination。我们在本讲引入的方法就是 #Exact_InferenceVariable Elimination首先我们需要定义Factor为一个未归一化的概率表比如P ( A ∣ B ) P(A \mid B)P(A∣B)或者P ( A , B ) P(A, B)P(A,B)Variable Elimination实例模型结构T是否拿宝藏C是否触发陷阱S是否触发蛇E是否能逃脱求P ( T ∣ e ) P(T \mid e)P(T∣e)即已知逃脱成功求拿到宝藏的概率Step1:首先列出所有因子P ( T ) P(T)P(T)P ( C ∣ T ) P(C \mid T)P(C∣T)P ( S ∣ T ) P(S \mid T)P(S∣T)P ( e ∣ C , S ) P(e \mid C, S)P(e∣C,S)Step2:Join所有包含C的factors以便下一步求和消除C包含C的因子有P ( C ∣ T ) P(C \mid T)P(C∣T)P ( e ∣ C , S ) P(e \mid C, S)P(e∣C,S)Join后得到新的factorf 1 ( C , e , T , S ) f_1(C, e, T, S)f1(C,e,T,S)也可以写成P ( C , e ∣ T , S ) P(C, e \mid T, S)P(C,e∣T,S)Step3:消除Cf 2 ( e , T , S ) ∑ c P ( C ∣ T ) P ( e ∣ C , S ) ∑ c f 1 ( C , e , T , S ) \begin{align*} f_2(e, T, S) \sum_{c} P(C \mid T)\,P(e \mid C, S) \sum_{c}f_1(C, e, T, S) \end{align*}f2(e,T,S)c∑P(C∣T)P(e∣C,S)c∑f1(C,e,T,S)用求和公式把C消除Step4Join所有包含S的factors以便下一步求和消除S包含S的因子有P ( S ∣ T ) P(S \mid T)P(S∣T)f 2 ( e , T , S ) f_2(e, T, S)f2(e,T,S)Join后得到新的factorf 3 ( e , S , T ) f_3(e, S, T)f3(e,S,T)Step5:消除Sf 4 ( e , T ) ∑ s f 3 ( e , S , T ) \begin{align*} f_4(e, T) \sum_sf_3(e, S, T) \end{align*}f4(e,T)s∑f3(e,S,T)Step6:乘上剩余因子还剩下一个P ( T ) P(T)P(T),就可以得到f 5 ( e , T ) P ( T ) f 4 ( e , T ) \begin{align*} f_5(e, T) P(T)f_4(e, T) \end{align*}f5(e,T)P(T)f4(e,T)Step7:归一化伪代码实现与Enumeration的本质区别Enumeration:α ∑ s ∑ c P ( T ) P ( s ∣ T ) P ( c ∣ T ) P ( e ∣ c , s ) \begin{align*} \alpha\sum_s\sum_cP(T)\,P(s \mid T)\,P(c \mid T)\,P(e \mid c, s) \end{align*}αs∑c∑P(T)P(s∣T)P(c∣T)P(e∣c,s)Variable Eliminationα P ( T ) ∑ s P ( s ∣ T ) ∑ c P ( c ∣ T ) P ( e ∣ c , s ) \begin{align*} \alpha P(T)\sum_{s}P(s\mid T)\sum_{c}P(c\mid T)\,P(e\mid c,s) \end{align*}αP(T)s∑P(s∣T)c∑P(c∣T)P(e∣c,s)Variable Elimination 把与求和无关的项提前移出求和符号这大大减少了中间表的大小。同时需要注意的是如果先消除 S可能中间因子大小会不同。通过合理选择消除顺序可以使最大因子尽可能小从而降低计算复杂度。通常我们会采用贪心策略每次选择“最小规模”的变量进行消除其中规模可定义为当前涉及该变量的因子合并后的大小。这被称为“最小缺陷”或“最小边”启发式。
