P16225 [蓝桥杯 2026 省 A] 量子 2048Link: https://www.luogu.com.cn/problem/P16225题目描述深蓝色的量子冷冻稀释制冷机正在平稳运行这里是“国家量子安全实验室”的核心机房。小蓝作为“量子 2048”战略工程的首席架构师正盯着屏幕上的一块2048 × 2048 2048 \times 20482048×2048的量子比特逻辑阵列。这块阵列是构建超大规模量子计算机的基础单元每一个比特位点必须被初始化为两种状态之一L LL低能级状态或Q QQ量子激发态。为了通过严苛的“国家量子安全实验室”准入审计阵列的逻辑分布必须严格遵循以下三项由量子纠缠动力学推导出的校验准则行量子奇偶校验阵列中的每一行处于Q QQ状态的比特数量必须为奇数。列量子奇偶校验阵列中的每一列处于Q QQ状态的比特数量必须为奇数。局部纠缠约束校验阵列中任意一个2 × 2 2 \times 22×2的子区域阵列中行列连续、相邻紧贴的2 22行2 22列网格区块处于Q QQ状态的比特数量必须为奇数。阵列中哪怕只有一个局部区域不符合准则整个芯片在超导状态下就会发生量子退相干导致计算失败。小蓝想要计算出在2048 × 2048 2048 \times 20482048×2048的固定规格下理论上存在多少种不同的初始化填充方案能够通过审计。现在作为小蓝的算法顾问请你帮助他完成计算。由于方案数可能很大请将结果对998244353 998244353998244353取模后输出。输入格式无输出格式这是一道结果填空题你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数在提交答案时只填写这个整数填写多余的内容将无法得分。输入输出样例 #1输入 #1输出 #1Solution1. 题意求有多少个不同的2048 20482048阶01 0101方阵满足每行、每列、以及所有的2 × 2 2\times 22×2子矩阵里的元素和均为奇数。将上述结果对998244353 998244353998244353求余。2. 分析只要固定第一行第一列整个矩阵就唯一确定了。事实上不一定必须是第一行第一列确定了任意一行任意一列都是如此。本题的突破口在于“2 × 2 2\times 22×2子矩阵”。不难看出只要确定了其中的三个元素第四个就唯一定死了。如果我们先确定第i ii行和第j jj列的全部元素那么交叉点以及交叉点上下左右的这5 55个位置已经确定如此一来根据“2 × 2 2\times 22×2矩阵求和为奇数”的约束交叉点左上、左下、右上、右下的四个位置也会被跟着确定。在此基础上又会扩展多出8 88个“已经确定三个元素的2 × 2 2\times 22×2矩阵”。以此类推不断向外“延展”类似于搜索最后就会使得所有的位置都会被唯一确定。对于选定的一行而言可以取其中任意2047 20472047个格子可以任意指定为0 00或者1 11最后一个根据奇偶性确定这时我们一般说自由度为2047 20472047。注意这个根据奇偶性确定的格子不能是交叉点否则可能出现交叉处既需要是0 00又需要是1 11的矛盾局面。列的情况与之同理。每行每列各根据奇偶性确定一个格子再扣除掉交叉点重复的因此可供“自由支配”的格子数是2048 2048 − 1 − 1 − 1 4093 2048 2048 - 1 - 1 - 1 409320482048−1−1−14093。因此最终的答案就是2 4093 m o d 998244353 618395416 2^{4093} \bmod 998244353 \boxed{618395416}24093mod998244353618395416。print(618395416)
