扩展数学题前言三角形的三个顶点是ABC重心(三条中线)交点是G,BC的中点是DAC的中点是E,AB的中点是F。性质一AD和BE相交G且交点G在三角形内。H是BC上任意一点BH和AD都有交点且在三级形内。性质二D G ⃗ x ⋅ D A ⃗ \vec{DG}x \cdot \vec{DA}DGx⋅DA,则x 1 3 x\frac1{3}x31。a O A ⃗ , b O B ⃗ , c O C ⃗ , d O D ⃗ g O G ⃗ a\vec{OA},b\vec{OB},c\vec{OC},d\vec{OD}g\vec{OG}aOA,bOB,cOC,dODgOGdD G ⃗ \vec{DG}DG-g0→ \to→dx(D A ⃗ \vec{DA}DA)g→ \to→dx(a-d)g→ \to→dxa-xdg→ \to→2d2xa-2xd2g左右乘以2→ \to→bc2xa-xb-xc2gd b c 2 d\frac{bc} 2d2bc→ 2 x a ( 1 − x ) b ( 1 − x ) c 2 g \rightarrow 2xa(1-x)b(1-x)c2g→2xa(1−x)b(1−x)c2g式子一同时G是BE上一点E G ⃗ y ⋅ E B ⃗ \vec{EG}y \cdot \vec{EB}EGy⋅EB故2yb(1-y)a(1-y)c2g式子二联立式子一式子二。(2xy-1)a(1-x-2y)b(1-xy-1)c0任意(a,b,c)上述式都成立。即(a0,b0,c0)和(a01,b0,c0)都成立。故2xy-10式子三1-x-2y0式子四1-xy-10式子五联立式子三五xy1 3 \frac{1}{3}31,此解也是式子三的解。性质三G1 ( a b c ) ÷ 3 (abc)\div 3(abc)÷3。g1 d ( a − d ) ÷ 3 2 d ÷ 3 a ÷ 3 ( b c ) ÷ 3 a ÷ 3 ( a b c ) ÷ 3 d (a-d) \div 32d\div3a\div3(bc)\div 3a\div 3(abc)\div 3d(a−d)÷32d÷3a÷3(bc)÷3a÷3(abc)÷3推论一根据性质三AD和CF的交点也为G1,BE和CF的交点也为G1即三条中线相交于一点。性质四△ G B C \triangle GBC△GBC的面积是△ A B C \triangle ABC△ABC的三分之一底相同高是三分之一。三角形的重心均匀的三角形板一定有重心。绳子固定在重心三角板能保证平衡。如果绳子在中线不会沿着中线翻转。在三角形内部做无限多无线密集的平行与BC的线这些线和A组成无数三角形。这些三角形被中线AD分成面积相等的三角形。质心多边形的质心’是一个重要的几何概念但在不同语境下它可能指代两个不同的东西几何中心}和 面心。我们来详细解释这两者。多边形的几何中心对于多边形其几何中心通常指的是顶点坐标的算术平均点 \textbf{顶点坐标的算术平均点}顶点坐标的算术平均点。它只与多边形的顶点位置有关与多边形的面积分布无关。三角形的几何中心 \textbf{三角形的几何中心}三角形的几何中心就是三个顶点的平均值这恰好与三角形的重心 \textbf{重心}重心重合。矩形的几何中心 \textbf{矩形的几何中心}矩形的几何中心就是其两条对角线的交点。对于正多边形所有边和角都相等其几何中心与面心重合。对于不规则多边形这个点可能不在多边形内部也可能不能很好地代表多边形的“中心”。例如一个“C”形多边形的几何中心可能会落在其外部。多边形的面心面心在物理学和工程学中常被称为质心是假设多边形是一个均匀的薄板时其质量分布的中心点。它的计算考虑了多边形的整个面积分布而不仅仅是顶点。计算方法计算面心的公式源自积分学对于简单多边形不自交其面心 的坐标计算公式为C area ( 1 A ∑ i 0 n − 1 ( x i x i 1 ) ( x i y i 1 − x i 1 y i ) , 1 A ∑ i 0 n − 1 ( y i y i 1 ) ( x i y i 1 − x i 1 y i ) ) C_{\text{area}} \left( \frac{1}{A} \sum_{i0}^{n-1} (x_i x_{i1})(x_i y_{i1} - x_{i1} y_i), \frac{1}{A} \sum_{i0}^{n-1} (y_i y_{i1})(x_i y_{i1} - x_{i1} y_i) \right)Carea(A1i0∑n−1(xixi1)(xiyi1−xi1yi),A1i0∑n−1(yiyi1)(xiyi1−xi1yi))其中A AA是多边形的有向面积A 1 2 ∑ i 0 n − 1 ( x i y i 1 − x i 1 y i ) A \frac{1}{2} \sum_{i0}^{n-1} (x_i y_{i1} - x_{i1} y_i)A21∑i0n−1(xiyi1−xi1yi)注意顶点序列应按顺时针或逆时针顺序排列并且约定x 0 x n , y 0 y n x_0xn,y_0y_nx0xn,y0yn。计算出的面积 A 要取绝对值。通俗理解这个公式通过将多边形分解成梯形或三角形来进行加权平均权重是每个梯形或三角形的面积。扩展阅读我想对大家说的话工作中遇到的问题可以按类别查阅鄙人的算法文章请点击《算法与数据汇总》。学习算法按章节学习《喜缺全书算法册》大量的题目和测试用例打包下载。重视操作有效学习明确的目标 及时的反馈 拉伸区难度合适 专注员工说技术至上老板不信投资人的代表说技术至上老板会信。闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望早发现问题早修改问题给老板节约钱。子墨子言之事无终始无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。如果程序是一条龙那算法就是他的是睛失败反思成功 成功反思成功视频课程先学简单的课程请移步CSDN学院听白银讲师也就是鄙人的讲解。https://edu.csdn.net/course/detail/38771如何你想快速形成战斗了为老板分忧请学习C#入职培训、C入职培训等课程https://edu.csdn.net/lecturer/6176测试环境操作系统win7 开发环境 VS2019C17或者 操作系统win10 开发环境 VS2022C17如无特殊说明本算法用**C**实现。
