CF2129
B
因为是排列所以我们可以从小到大考虑每个数。对于一个数，如果不变那么贡献是前面比它大的数个数，如果改变那么贡献是后面比它大的数的个数，取最小值即可。
C
首先我们得找到一个确定的括号，这样我们才可以判断。因为题目保证至少有一个 ( 和一个 ) 所以字符串中至少有一个 () 或者一个 )(，考虑前者贡献为一，后者无贡献于是考虑二分找即可。这里需要用掉 \(1+\left\lceil\log_2n\right\rceil=11\) 次查询。
C1
考虑还有 500 多次查询所以我们每次确定 2 个位置即可。我们考虑一个形如下面的查询：
( ( i j ( j i
我们分讨一下 4 种取值对应的结果即可。
C2
我们尝试让每次询问确定更多的位置，考虑一组形如 (((iii 的查询，其取值要么是零要么是长度的一半，我们状压一下就可以每次查询 8 个位置，因为有 \(7+\sum_{i=0}^82^i=518\) 如果再大就超过限制了。这样一共需要查 \(11+\left\lceil n\over 8\right\rceil=136\) 次。
C3
上面我们考虑括号嵌套的查询，其实我们还可以让括号并排，这样能构造出形如下面的东西：
( i ( i ( i ( ( j ( j ( j ( ( k ( k ( k
每次一个位置所带来的贡献要么为零要么为 \(cnt\times(cnt+1) \over 2\)，考虑构造出不同的 cnt 保证每种组合唯一。可以构造出如下的 cnt 序列：
1,2,3,5,7,10,15,21,30,43,61,87,123
最后我们一次查询能够确定 13 个位置，总询问次数为 ：\(11+\left\lceil n\over 13\right\rceil=88\)。
D
神秘计数题我们考虑先去寻找性质，然后通过性质入手。
我们先去考虑一个位置 \(i\) 被贡献的情况，不考虑其他位置，于是左右对称，我们考虑左边。首先染色的位置应该从远到近，否则就贡献不到当前考虑的位置。然后考虑我们贡献的上限能是多少。最近的位置肯定是 \(i-1\)，下一个不能是 \(i-2\)，因为这时我们 \(i-1\) 的贡献就会给 \(i-2\)，于是下一个位置实际是 \(i-3\)。再下一个呢？经过实践我们发现是 \(i-7\)。发现了吗？每次能作贡献的最右端点形如 \(i-2^k+1\)，所以每个位置的贡献上界是 \(\log\) 的。
然后我们考虑一个位置被填了后，左边的位置显然不能贡献到右边去了，所以一个问题就被简化成了子区间，于是我们肯定是往区间 dp 的方向思考。所以首先我们的状态有 \(f_{i,j}\) 表示区间 \([i,j]\) 的答案，但是显然这样没法进一步转移，所以我们需要增加限制。因为我们转移的时候肯定要去枚举那个划分的位置，考虑那个位置对外置位做的贡献以及那个位置得到贡献的情况。考虑新划分出来的两个子区间肯定对划分位置有贡献，于是我们重新定义 dp 状态。设 \(f_{i,j,x,y}\) 表示考虑到了区间 \([i,j]\) 并且区间内没有染色，但是 \(i-1\) 和 \(j+1\) 已经被染色，区间对 \(i-1\) 的贡献为 \(x\)，对 \(j+1\) 的贡献为 \(y\)。
转移的时候我们枚举了划分位置 \(k\)，考虑 \(k\) 对外置位的贡献。如果 \(k\) 在区间左半部分，那么会对 \(i-1\) 有 1 的贡献；否则对 \(j+1\) 有 1 的贡献。枚举的时候注意减掉。然后两个子区间对 \(k\) 的贡献就枚举一下即可。注意因为是统计排列数，考虑两个子区间独立，于是在排列中只要相对顺序正确即可，所以还要带一个组合数 \(j-i\choose k-i\)。最后转移就是 \(f_{i,j,x,y}\leftarrow f_{i,k-1,x't}\times f_{k+1,j,q,y'\times{j-i\choose k-i}}\)。时间复杂度 \(\mathcal O(n^3\log^3n)\)。
E
发现单次的修改是简单的，但是跟边数有关。注意到 \(n,m\) 同阶于是考虑对 \(m\) 分块跑莫队。然后注意到正常用平衡树是 \(\mathcal O(q\sqrt m\log n)\) 的修改加上 \(\mathcal O(q\log n)\) 的查询，于是考虑值域分块平衡复杂度。注意如果直接按照度数分块可能出现很多点度数为零导致块长爆炸，于是我们按照度数加点数分块，于是就是 \(\mathcal O(q\sqrt{n+m})\) 的。