17、状态反馈控制：原理、应用与实现

状态反馈控制：原理、应用与实现

1. 离散时间模型的可观测性问题

在控制系统中，离散时间模型的可观测性是一个重要概念。当仅依据速度信息时，由于可观测性矩阵的秩为 1，无法确定包含位移和速度的系统状态。这是因为在不知道初始位移的情况下，无法通过积分速度来得到位移。
同样，若直接测量加速度，离散测量方程会发生变化。此时，可观测性矩阵的秩为 0，这表明仅依靠加速度信息，在不知道初始位移和速度的情况下，无法确定系统状态。

2. 连续时间状态反馈

在线性系统里，最简单的状态反馈控制是控制输入为状态向量的线性函数。若系统动力学由连续时间格式的状态空间模型描述：
[
\frac{dx}{dt} = A_cx(t) + B_cu(t)
]
则线性状态反馈控制器的形式为：
[
u(t) = F_cx(t)
]
其中，$F_c$ 被称作控制器增益。对于单输入系统，$F_c$ 是行向量；对于多输入系统，$F_c$ 是矩阵。

为使系统稳定，需要设计合适的控制器增益矩阵 $F_c$。将控制律代入系统方程可得闭环系统方程：
[
\frac{dx}{dt} = (A_c + B_cF_c)x(t)
]
记 $\overline{A}_c = A_c + B_cF_c$ 为连续时间闭环系统矩阵。闭环系统的稳定性取决于 $\overline{A}_c$ 的特征值。若 $\overline{A}_c$ 的所有特征值实部均为负，则闭环响应在稳态时会收敛到零，即系统能被控制器稳定。

当系统状态变为零时，其输出也会变为零。通过测量方程：
[