47、非线性控制系统中的可观测性与零动态算法解析

非线性控制系统中的可观测性与零动态算法解析

1. 可达性李代数与分布

可达性李代数在控制系统分析中具有重要地位。对于形如特定形式的控制系统，其可达性李代数 (A) 定义为在光滑函数环上，由特定形式元素张成的空间。这些元素形式如下：
[
[X_k, [X_{k - 1}, \cdots [X_2, X_1] \cdots ]]
]
其中 (X_1 \in {g_1, \cdots, g_m})，且当 (i > 2) 时，(X_i \in {f, g_1, \cdots, g_m})，(k = 0, 1, 2, \cdots)。可达性分布则定义为李代数 (A(x)) 的求值。该分布具有对合性和 (g_i) 不变性。

若分布 (A(x)) 和 (C(x)) 满足 (C(x) = A(x) + \text{span}(f(x)))，并且二者均为正则分布，那么有 (\text{dim} C(x) \leq \text{dim} A(x) + 1)。利用该分布所提供的坐标，系统具有如下形式：
[
\begin{cases}
\dot{\xi}{11} = f_1(\xi_1, \xi_2) + \sum{i = 1}^{m} g_{1i}(\xi_1, \xi_2)u_i \
\vdots \
\dot{\xi}{1,d - 1} = f{d - 1}(\xi_1, \xi_2) + \sum_{i = 1}^{m} g_{d - 1,i}(\xi_1, \xi_2)u_i \
\dot{\xi}{1,d} = f_d(\xi{1