DEA Performance 全局方向距离函数（Global DDF）模型手算验证报告

一、验证背景与前提说明

为校验 DEA Performance 软件中全局 DDF 模型的实现逻辑与计算准确性，本次采用标准测试数据进行人工手算推导，将理论结果与软件输出逐一比对，确保模型严格符合方向距离函数的学术定义与代码实现规则。

1.1 测试数据匹配说明

本次验证采用标准横截面测试数据集，指标结构为：2 项投入 + 1 项期望产出 + 1 项非期望产出，完全适配全局 DDF 模型的输入规范：

• 投入矩阵X XX：2 列投入指标
• 期望产出矩阵Y g Y^gYg：1 列正向产出指标
• 非期望产出矩阵Y b Y^bYb：1 列负向产出指标

1.2 全局 DDF 模型核心规则

本次验证采用 CRS（不变规模报酬）假设，模型核心逻辑与软件代码实现完全一致：

1.2.1 导向定义

• 投入导向：同步同比例缩减投入与非期望产出，约束期望产出不低于当前值。
• 产出导向：同比例扩大期望产出，约束投入与非期望产出不高于当前值。

1.2.2 效率值转换公式

软件统一采用标准化映射规则输出效率值，其中β ∗ \beta^*β∗为方向距离函数的最优解（β ∗ ≥ 0 \beta^* \geq 0β∗≥0）：
Efficiency = 1 1 + β ∗ \text{Efficiency} = \frac{1}{1 + \beta^*}Efficiency=1+β∗1​
该映射保证有效单元效率值为 1，非有效单元效率值小于 1，与传统 DEA 效率值的取值范围完全对齐。

二、投入导向（CRS）模型手算验证

2.1 全样本结果对比表

所有 DMU 的手算推导结果与理论值完全匹配，明细如下：

2.2 典型单元推导示例（DMU1）

以 DMU1 为例，原始数据为：投入x = ( 14 , 9 ) x=(14, 9)x=(14,9)，期望产出y g = 9 y^g=9yg=9，非期望产出y b = 4 y^b=4yb=4。CRS 投入导向下，仅需前沿有效单元 DMU2 即可构造最优参考集，推导过程如下：

1. 期望产出约束：λ ⋅ 31 ≥ 9 \lambda \cdot 31 \geq 9λ⋅31≥9，取边界最优解得λ = 9 / 31 ≈ 0.2903 \lambda = 9/31 \approx 0.2903λ=9/31≈0.2903。
2. 投入 2 为紧约束：λ ⋅ 13 = ( 1 − β ) ⋅ 9 \lambda \cdot 13 = (1 - \beta) \cdot 9λ⋅13=(1−β)⋅9，代入λ \lambdaλ解得β = 1 − 13 × 9 9 × 31 = 1 − 13 31 ≈ 0.580645 \beta = 1 - \frac{13 \times 9}{9 \times 31} = 1 - \frac{13}{31} \approx 0.580645β=1−9×3113×9​=1−3113​≈0.580645。
3. 效率值转换：代入公式得Efficiency = 1 1 + 0.580645 ≈ 0.632653 \text{Efficiency} = \frac{1}{1 + 0.580645} \approx 0.632653Efficiency=1+0.5806451​≈0.632653，与软件输出完全一致。

2.3 软件结果对照截图

图 1 DEA Performance 投入导向 CRS 全局 DDF 模型计算结果
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三、产出导向（CRS）模型手算验证

3.1 全样本结果对比表

产出导向下所有 DMU 的手算结果同样与理论推导完全吻合，明细如下：

3.2 典型单元推导示例（DMU1）

同样以 DMU1 为例，产出导向下仍以 DMU2 为唯一参考单元，推导过程如下：

1. 投入 2 为紧约束：λ ⋅ 13 ≤ 9 \lambda \cdot 13 \leq 9λ⋅13≤9，取边界最优解得λ = 9 / 13 ≈ 0.6923 \lambda = 9/13 \approx 0.6923λ=9/13≈0.6923。
2. 期望产出约束：λ ⋅ 31 = ( 1 + β ) ⋅ 9 \lambda \cdot 31 = (1 + \beta) \cdot 9λ⋅31=(1+β)⋅9，代入λ \lambdaλ解得β = 31 × 9 9 × 13 − 1 = 31 13 − 1 ≈ 1.384615 \beta = \frac{31 \times 9}{9 \times 13} - 1 = \frac{31}{13} - 1 \approx 1.384615β=9×1331×9​−1=1331​−1≈1.384615。
3. 效率值转换：代入公式得Efficiency = 1 1 + 1.384615 ≈ 0.419355 \text{Efficiency} = \frac{1}{1 + 1.384615} \approx 0.419355Efficiency=1+1.3846151​≈0.419355，与软件输出完全匹配。

3.3 软件结果对照截图

图 2 DEA Performance 产出导向 CRS 全局 DDF 模型计算结果
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四、补充特性验证说明

4.1 全局 DDF 模型特性验证

本次验证采用单期横截面数据，全局 DDF 与同期普通 DDF 计算结果一致，完全符合“全样本统一构建生产前沿”的模型定义。
若为多期面板数据场景，全局 DDF 会以所有时期的全部样本共同构造全局前沿，可直接实现跨期效率的纵向可比，避免了普通 DDF 各期前沿不同无法直接对比的缺陷，这是全局 DDF 模型的核心优势。

4.2 前沿有效单元判定

本次测试中 DMU2 为唯一 CRS 前沿有效单元（β ∗ = 0 \beta^*=0β∗=0，效率值= 1 = 1=1），其投入产出比达到全样本最优水平，其余非有效单元均以 DMU2 为核心标杆进行效率测算，符合 DEA 模型的前沿构造逻辑与经济学含义。

五、验证结论

本次手算验证覆盖投入导向、产出导向两类核心场景，全部 6 个 DMU 的β \betaβ值、效率值均与理论推导结果完全一致，验证了 DEA Performance 中全局 DDF 模型的实现逻辑严格匹配学术定义，计算结果准确可靠，与代码逻辑、测试数据完全吻合。

附录：DEA Performance 软件简介

DEA Performance 是一款专注于数据包络分析的轻量化专业分析工具，内置 30+ 主流 DEA 模型，覆盖 CCR/BCC 等基础径向模型、SBM/DDF 等非径向与环境效率模型、窗口 DEA / 超效率 DEA / 交叉效率等进阶模型，全面支持非期望产出处理、全规模报酬切换、高级松弛投影分析等核心功能。

软件采用模块化插件架构，兼容 Windows 与国产银河麒麟系统，兼顾低门槛操作与专业级计算精度，可满足学术研究、部门绩效评价、能源环境效率测算等多场景需求。

DEA Performance 下载地址：https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd=5802