【数学笔记】海伦-秦九韶公式在平面直角坐标系的应用
1.0 引入
在坐标系中，任意一个三角形其中的一个顶点在原点，另外两点为 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，则其面积可表示为：
\[S=\frac{1}{2} |x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1|
\]
考虑证明。
反比例函数法
这是一种特殊情况。当三角形的一个顶点在原点，另两个点在反比例函数图像上时，可以利用反比例函数图像的形式来解决问题。
我们知道，根据 \(k\) 的几何意义，\(S_{\triangle BOM}=S_{\triangle AON}\)。
等式两边同减去 \(S_{\triangle POM}\)，得 \(S_{\triangle BOP}=S_{梯形APMN}\)。
所以：
\[S_{\triangle BOA}=S_{\triangle BOP}+S_{\triangle BPA}=S_{梯形APMN}+S_{\triangle BPA}=S_{梯形AMNB}
\]
又因为：
\[S_{梯形AMNB}=\frac{1}{2}MN \cdot (BM+AN)=\frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)=\frac{1}{2}(y_2x_2-y_2x_1+y_1x_2-y_1x_1)
\]
有反比例函数性质可得：
\[x_1y_1=x_2y_2
\]
所以
\[\frac{1}{2}(y_2x_2-y_2x_1+y_1x_2-y_1x_1)=\frac{1}{2}(x_2y_1-x_1y_2)
\]
故
\[S=\frac{1}{2} |x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1|
\]
1.1 海伦-秦九韶公式的推导过程
已知秦九韶公式：
\[S = \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 b^2 - \frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4} \right] }
\]
考虑去推导它。
如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(AD \perp BC\)，设 \(BC=a,AC=b,AB=c\)，\(AD=h,CD=x,DB=a-x\)。
由勾股定理，得：
\[b^2-x^2=h^2 \tag{1}
\]
\[c^2-(a-x)^2=h^2 \tag{2}
\]
\((1)(2)\) 联立，得：
\[c^2-(a-x)^2=b^2-x^2 \tag{3}
\]
展开 \((3)\)，得：
\[\begin{align*}
c^2-(a-x)^2 &= b^2-x^2 \\
c^2-a^2+2ax-x^2 &= b^2-x^2 \\
c^2-a^2+2ax &= b^2\\
2ax &= a^2+b^2-c^2\\
x &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} \tag{4}
\end{align*}
\]
将 \((4)\) 代入 \((1)\)，得：
\[\begin{align*}
h^2 &= b^2-x^2=b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)^2\\
h &=\sqrt{b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)^2} \tag{5}
\end{align*}
\]
将 \((5)\) 代入 \(S=\frac{1}{2}ah\)，得：
\[\begin{align*}
S &=\frac{1}{2}ah \\&= \frac{1}{2}a\sqrt{b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)^2}\\&= \sqrt{\frac{1}{4}a^2\left[b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)^2\right]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2b^2-a^2\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}\right)^2\right]}\\&= \sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2b^2-a^2 \cdot \frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}\right]}\\&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 b^2 - \frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4} \right] }
\end{align*}
\]
这样，我们就推导出来了秦九韶公式。
题外话 如何根据秦九韶公式来得出更加优雅的海伦公式？
我们知道海伦公式：$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},p=\frac{1}{2}(a+b+c)$$
我们需用到平方差公式 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) 来解决。\[ \begin{align*}S &= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 b^2 - \frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4} \right] } \\&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ (ab)^2 - \left(\frac{(a^2 + b^2 - c^2)}{2}\right)^2 \right] } \\&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ \left(ab+\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right) \left(ab-\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right) \right] } \\&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ \left(\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{2}\right) \left(\frac{-a^2+2ab-b^2+c^2}{2}\right) \right] } \\&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ \left(\frac{(a+b)^2-c^2}{2}\right) \left(\frac{c^2-(a-b)^2}{2}\right) \right] } \\&= \sqrt{\frac{1}{16} \left((a+b)^2-c^2\right) \left(c^2-(a-b)^2\right)} \\&= \sqrt{\frac{1}{16} \left(a+b+c\right) \left(a+b-c\right) (c+a-b) (c-a+b)}\\&= \sqrt{\frac{1}{16} \left(a+b+c\right) \left(a+b+c-2c\right) (c+a+b-2b) (c+a+b-2a)}\\&= \sqrt{\frac{1}{16} 2p \left(2p-2c\right) (2p-2b) (2p-2a)}\\&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{align*}\]这样我们就得到了更为优雅的海伦公式，它们并称为海伦-秦九韶公式。
1.2 海伦-秦九韶公式求坐标系中三角形面积
在坐标系中，任意一个三角形其中的一个顶点在原点，另外两点为 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)。
此时没有了反比例函数的辅助，但我们可以使用秦九韶公式。由两点间距离公式可得：
\[OA=\sqrt{x_1^2+y_1^2},OB=\sqrt{x_2^2+y_2^2},AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}
\]
这里可以设 \(OA=a,OB=b,AB=c\)。
代入可得：
\[\begin{align*}
S &= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ a^2 b^2 - \frac{(a^2 + b^2 - c^2)^2}{4} \right] }\\&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ \left(\sqrt{x_1^2+y_1^2}\right)^2 \left(\sqrt{x_2^2+y_2^2}\right)^2 - \frac{\left( \left(\sqrt{x_1^2+y_1^2}\right)^2 +\left(\sqrt{x_2^2+y_2^2}\right)^2 - \left(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\right)^2 \right)^2}{4} \right] }\\&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ \left(x_1^2+y_1^2\right) \left(x_2^2+y_2^2\right) - \frac{\left( \left(x_1^2+y_1^2\right) + \left(x_2^2+y_2^2\right) - (x_1 - x_2)^2-(y_1-y_2)^2 \right)^2}{4} \right] }\\&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ \frac{4x_1^2x_2^2+4y_1^2y_2^2+4x_1^2y_2^2+4x_2^2y_1^2}{4} - \frac{\left( x_1^2+x_2^2 + x_2^2+y_2^2 - x_1^2+2x_1x_2-x_2^2-y_1^2+2y_1y_2-y_2^2 \right)^2}{4} \right] }\\&= \sqrt{\frac{1}{4} \left[ \frac{4x_1^2x_2^2+4y_1^2y_2^2+4x_1^2y_2^2+4x_2^2y_1^2}{4} - \frac{\left( 2x_1x_2+2y_1y_2\right)^2}{4} \right] }\\&= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{4x_1^2x_2^2+4y_1^2y_2^2+4x_1^2y_2^2+4x_2^2y_1^2 - \left( 2x_1x_2+2y_1y_2\right)^2}{4}}\\&= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{4x_1^2x_2^2+4y_1^2y_2^2+4x_1^2y_2^2+4x_2^2y_1^2 - 4x_1^2x_2^2-8x_1x_2y_1y_2-4y_1^2y_2^2}{4}}\\&= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{4x_1^2y_2^2+4x_2^2y_1^2 -8x_1x_2y_1y_2}{4}}\\&= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{(2x_1y_2-2x_2y_1)^2}{4}}\\&= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{4(x_1y_2-x_2y_1)^2}{4}}\\&= \sqrt{\frac{1}{4}(x_1y_2-x_2y_1)^2}\\&= \frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|
\end{align*}
\]
1.3 对于坐标系内任意三点坐标求三角形面积
我们可以将三角形的任意一点平移至原点，转化成 1.2 中的三角形。按照公式求即可。
1.4 结语
对于该公式，我们采取由一般到特殊的方法，证明了该公式的正确性。
对于该公式的证明，还有其他方法比方说将三角形补成矩形，向量法等皆可证明。