转置
\[D = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{vmatrix}
\]
上述行列式的转置行列式 \(D^T\) ，写作
\[D^T = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1m} & a_{2m} & \cdots & a_{nm}
\end{vmatrix}
\]
实际上，这个操作相当于把行列式的行列互换。
性质
- \({(D^T)}^T = D\)
- 行列式转置前后求值不变。
- 任意交换行列式中 \(2\) 行或 \(2\) 列，行列式求值变为原行列式的相反数。
- 基于 \(3\) 的推论，如果行列式中有某 \(2\) 行或 \(2\) 列完全一致，行列式求值为 \(0\) 。
- 若行列式某 \(1\) 行或某 \(1\) 列有公因子，该因子可以提到行列式记号外。
- 基于 \(4、5\) 结合的推论，如果行列式中有某 \(2\) 行或 \(2\) 列完全成比例，行列式求值为 \(0\) 。
-
\[ D = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21}+k & a_{22}+2k & a_{23}+3k \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\k & 2k & 3k \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} \]
- 将行列式某 \(1\) 行或某 \(1\) 列的 \(k\) 倍加到其他的行或列上，行列式的值不变。