映射
对于集合 \(X,Y\)，定义映射
\[F:X \to Y
\]
表示
\[\forall x\in X, F(x)\in Y
\]
若 \(\forall x_1\neq x_2\)，\(F(x_1)\neq F(x_2)\)，称 \(F\) 为单射。
若 \(\forall y\in Y\)，\(\exists F(x)=y\)，称 \(F\) 为满射。
\(y=F(x)\)，称 \(y\) 为 \(x\) 的像 (image)，\(x\) 为 \(y\) 的原像 (pre-image)。
称 \(X\) 为定义域 (domain)，\(Y\) 为陪域 (range)。
映射的举例：如实数上的加法即
\[\begin{align*}
F:\mathbb{R} \times \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\
(a, b) &\mapsto a+b
\end{align*}
\]
向量空间
定义
一个实数向量空间是一组具有向量加法和数乘法则的向量。
一个完整的向量空间记作 \((V, + , \circ , \mathbb{R})\)。
\(V\) 为空间包含的向量集合。
\(+\) 代表向量加，表示映射
\[\begin{align*}
+ : V \times V &\to V \\
(v_1, v_2) &\mapsto v_3
\end{align*}
\]
\(\circ\) 代表向量数乘，表示映射
\[\begin{align*}
\circ : \mathbb{R} \times V &\to V \\
(c, v) &\mapsto v'
\end{align*}
\]
向量空间需要满足以下 8 条规则（\(x,y\) 表示向量，\(c,c_1,c_2\) 表示实数）：
向量加法的四条公理：
\[\begin{align}
&x+y=y+x \\
&x+(y+z)=(x+y)+z \\
&\exists 0, \forall x, x+0=x \\
&\forall x, \exist -x, x+(-x)=0 \\
\end{align}
\]
标量乘法的四条公理：
\[\begin{align}
&1x=x \\
&(c_1c_2) x=c_1(c_2x) \\
&(c_1+c_2)x=c_1x+c_2x \\
&c(x+y)=cx+cy
\end{align}
\]
注：
向量空间定义中的 \(\mathbb{R}\) 其实可以被替换成任意域 \(\mathbb{F}\)。下讨论时默认为 \(\mathbb{R}\)。
同时，在上下文语境中，有时空间也会用来指代包括的向量集合，而不是包含向量加和数乘的完整定义。
非一般的向量空间
除了常见的由实数数组向量构成的向量空间，也有如下一些空间：
\(\mathbb{R}^{\infty}\)
定义在 \([0,1]\) 上的所有函数即 \(\{f| \text{domain of}\ f\ \text{is}\ [0, 1]\}\)
定义新的向量加和数乘还可以构造空间例如
\[(\mathbb{R}^+, +, \circ, \mathbb{R})
\]
其中
\[\begin{align*}
+:\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ &\to \mathbb{R}^+ \\
(a, b) &\mapsto a\times b
\end{align*}
\]
\[\begin{align*}
\circ:\mathbb{R} \times \mathbb{R}^+ &\to \mathbb{R}^+ \\
(c, x) &\mapsto x^c
\end{align*}
\]
向量空间公理的推论：
- \(0x=\vec{0}\)
\[\begin{align*} 0x&=(0+0)x \\ &=0x + 0x \\ \\0x+(-(0x)) &= 0x+0x+(-(0x)) \\ \vec0 &= 0x \end{align*} \]
- \((-1)x=-x\)
\[\begin{align*} \vec{0}=0x&=(1-1)x \\ &=x+(-1)x \\ \\ \vec{0}&=x+(-1)x \\ -x&=x-x+(-1)x \\ -x&=(-1)x \end{align*} \]
- \(x+y=x+z \to y=z\)
\[\begin{align*} x+(-x)+y&=x+(-x)+z \\ y&=z \end{align*} \]
- \(\beta \vec{0} = \vec{0}\)
\[\begin{align*} \text{because of 1, }0\vec0&=0 \\ \\ \beta\vec0 &= \beta(0\vec0) \\ &=(\beta0)\vec0 \\ &=0\vec0=\vec0 \end{align*} \]
- \(\alpha x = \vec{0} \to x=\vec{0} \text{ or } \alpha=\vec{0}\)
\[\begin{align*} \text{When } \alpha &\neq 0,\\ \\ \alpha x&=0\\ \frac{1}{\alpha}(\alpha x)&=\vec0\\ (\frac{1}{\alpha}\alpha)x&=\vec0\\ x&=\vec0 \end{align*} \]