数据结构初识，与算法复杂度
- 前言
- 1、数据结构与算法
- 2、数据结构与算法的重要性
- 3、复杂度
- 3.1、复杂度的概念
- 3.2、复杂度的重要性
- 3.3、时间复杂度
- 3.3.1、大O的渐进表示法
- 3.3.2、几个例子
- 3.4、空间复杂度
- 3.4.1、概念浅析
- 3.4.2、示例
前言
哎呀，前前后后，里里外外，我拖拖沓沓了快四个月，终于学完了C语言。
我只明白了一件事：学习，一定要多敲代码，一定要找一个安静（最好无人）的地方，一定要排除万难，一切为学习让步。
现在是2025年10月25日，16时6分，不说了，开干。
1、数据结构与算法
数据结构，是计算机存储、组织数据的方式，方式包括数据的增、删、查、改。
数据结构，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
算法，指的是一系列计算过程，用于将输入的一个（或一组）数据，经这个计算过程，输出一个（或一组）数据（结果）。
2、数据结构与算法的重要性
非常重要！非常重要！非常重要！
所以要好好学。
3、复杂度
3.1、复杂度的概念
我们知道，衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度出发。
即时间复杂度，和空间复杂度。
| 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|
| 衡量一个算法的运行快慢 | 衡量一个算法所需要的额外空间的多少 |
3.2、复杂度的重要性
一句话：节约时间、节省空间、降低成本。
对于笔试面试，和实际开发，都有帮助。
3.3、时间复杂度
算法的时间复杂度，是一个函数T(N)，用于定量计算算法的运行时间。
那为什么，不直接跑一跑这个算法，然后记录从开始运行，到结束，这个真实时间，并拿来分析呢？有三点原因：
- 编译环境（编译器）的更新迭代，会导致同一段代码，实际运行时间不同。
- 机器的新旧，会导致同一段代码，实际运行时间不同。
- 要知道这个真实时间，必须先运行代码，而不能通过一种理论，来提前判别。
话说回来。我们知道，写出来的代码，被编译为二进制可执行指令，而程序执行的过程，就是CPU执行这些指令。其中，某一条指令可能被执行一次，也可能被执行多次。所以：
程序的执行时间=二进制指令执行时间∗执行次数程序的执行时间=二进制指令执行时间*执行次数 程序的执行时间=二进制指令执行时间∗执行次数
举个例子：
//计算++count被执行的次数
void Func(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
++count;
}
for (int i = 0; i < 2 * k; ++i)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
}不难得出：
T(N)=N2+2∗N+10T(N)=N^2+2*N+10 T(N)=N2+2∗N+10
其中，N^2对==T(N)==的影响最大。
但实际上，如果单单是执行一条简单的指令，那运行时间就微乎其微了。而有些语句，随着输入参数的变化，它们执行的次数也会随之发生相应有规律的变化。因此，我们计算算法复杂度，只是想计算算法程序的增长量级，也就是当N不断变化（一般是增大）时T(N)的差别。
上面的例子中，我们不难看出，低阶项与常数项，对结果的影响很小，所以我们只需计算一个大概的执行次数。这时可以用大O的渐进表示法。
3.3.1、大O的渐进表示法
规则：
- 时间复杂度函数式
T(n)中，保留最高阶项。比如O(N^2) - 去掉最高阶项的常数系数。
- 如果函数式中只有常数项，为
O(1)。
3.3.2、几个例子
举几个我觉得不太好理解的例子。
例一：
void Func1(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++)
{
count++;
}
for (int k = 0; k < N; k++)
{
count++;
}
printf("%d\n", count);
}在这里：
- T(N) = M + N
- 时间复杂度：O(M + N)
- 当
M == N，时间复杂度可以为O(M) O(N) - 当
M >> N，时间复杂度O(M) - 当
M << N，时间复杂度O(N)
- 当
例二：
const char* strchr (const char * str, char char)
{
const char* p_begin = str;
while (*p_begin != char)
{
if (*p_begin == '\0')
return NULL;
p_begin++;
}
return p_begin;
}在这里：
- 当要查找的字符串在第一位，则
T(N) = 1 - 当要查找的字符串在中间位置，则
T(N) = N/2 - 当要查找的字符串在末尾，则
T(N) = N
所以：
- 最好情况（下界）：
O(1) - 平均情况：
O(N) - 最坏情况（上界）：
O(N)
而大O的渐进表示法，一般关注上界，即最坏情况。
例三：
//冒泡排序
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}现在是2025年10月28日12时59分
在这里：
- 当序列升序，
O(N) = N - 当序列降序：
| n 的取值 | 对应交换操作执行的次数 |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 3 | 2 |
| 4 | 3 |
| … | … |
| n | n - 1 |
不难得出，执行次数为N(N - 1)/2，时间复杂度为O(N^2)。
例四：
void func2(int n)
{
int cnt = 1;
while (cnt < n)
{
cnt *= 2;
}
}可以看出，
当n = 2，执行次数为1；
当n = 4，执行次数为2；
当n = 8，执行次数为4；
……
所以此时的T(N) = logN （这里底数不重要，可由换底公式换成任意底），时间复杂度为O(logN)。
例五：
也就是函数递归算法的复杂度。
递归的复杂度 = 递归的次数 * 每次递归的时间复杂度
3.4、空间复杂度
3.4.1、概念浅析
由于函数运行所需的栈空间，在编译期间就已经开辟好了，所以空间复杂度主要讨论的是函数在运行时，申请的额外内存空间。
3.4.2、示例
例一：
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}还是这个冒泡排序。不难看出，使用了常数个空间，空间复杂度为O(1)。
例二：
//计算阶乘的递归
long long Fac(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return n*Fac(n - 1);
}函数进行了n次递归，而每次递归申请了常数个空间，所以空间复杂度为O(N)。