下面给出一套体系化、可复用、适用于所有 DP（尤其是复杂 DP）的问题解法框架。
内容分为两部分：
- 如何确定 dp 数组的定义（状态定义）
- 如何推导状态转移方程（状态转移）
① 如何确定 DP 数组的定义？（状态定义的三原则）
DP 的本质是：
定义一个状态，使其可以准确、唯一描述问题的“子问题”，并且可以由更小的子问题组合而来。
你需要遵循三个原则：
原则 1：状态必须“可描述问题某一部分的最优解”
DP 的常见状态定义模板：
dp[i]：处理前 i 个元素时的最优值dp[i][j]：处理前 i 个元素，且满足 j 条件时的最优值dp[i][j][k]：i/j/k 表示不同维度的约束和记录信息
你判断一个状态是否合理：
它是否能“代表一个完整的子问题”？
它是否能唯一地描述问题到某一步为止的最优解？
如果不能唯一决定子问题，即状态“不够描述信息”，你就需要增加维度。
原则 2：状态要包含“决定未来选择所需的最小信息”
例如：
- 股票问题必须记录是否持股，否则无法决定是否可以卖
- 背包问题必须记录已经用的容量，否则无法决定能否放下物品
- 最短路需要记录当前节点，否则无法决定下一个节点
一句话：
状态中应包含做下一步决策必须的最小信息，但不能过多。
原则 3：状态必须让转移变得可能（能从前面推导）
判断一个状态是否“可转移”：
- 当前状态是否可以从过去（i-1、容量减去重量等）推导？
- 是否存在明确的动作（例如：买、卖、放、不放）？
如果无法从前一个状态推到当前，就说明状态设计错误。
② 如何推导状态转移方程？（DP 的四步推导法）
确定状态之后，推导 DP 方程遵循 4 步：
步骤 1：分析“最后一步动作”
DP 适合分析问题的最后一步：
如股票问题的最后一步可能是：
- 最后一天不持股 → 状态来自昨天不动 或 今天卖出
- 最后一天持股 → 状态来自昨天持股 或 今天买入
如背包问题的最后一步：
- 第 i 个物品选择“不放”
- 第 i 个物品选择“放入”
DP 的公式本质就是写出所有可能的最后一步，再从中选择最优。
步骤 2：列出所有可能的前序状态
根据最后动作，找出所有可能的来源状态。
比如股票问题：
dp[i][j][0] ← dp[i-1][j][0] （昨天不持股）
dp[i][j][0] ← dp[i-1][j][1] + prices[i] （昨天持股，今天卖）
或者背包：
dp[i][w] ← dp[i-1][w] （不放）
dp[i][w] ← dp[i-1][w - weight[i]] + val[i]（放）
DP 的核心就是找到所有“来源”。
步骤 3：写出“取最大值/最小值/求和”等运算
经典形式是：
dp[i] = best(所有候选来源)
这里的 best() 根据题目是最大利润/min 的代价/是否可达/有多少种方案而不同。
步骤 4：处理初始化（i=0 或边界状态）
初始化最容易写错。
它通常由“边界条件”和“状态定义”自然决定：
股票例子：
dp[0][j][1] = -prices[0]
dp[0][j][0] = 0
背包例子：
dp[0][0] = 0
dp[0][w>0] = -∞（无法达到）
③ 使用这套方法总结——DP 的逻辑流程图
➤ 第一步：确定需要记录哪些信息？→ i：枚举到哪→ j：是否需要记录额外维度（交易次数/容量/元素和）➤ 第二步：写出 dp[i][...] 的含义→ dp[i][j] 表示什么？➤ 第三步：分析第 i 步有哪些“动作”→ 买/卖？放/不放？取/不取？移动方向？➤ 第四步：写出来自哪些前序状态→ dp[i][j] 可以从 dp[i-1][j], dp[i][j-1], ... 来？➤ 第五步：写出 max / min 选择→ dp[i][j] = max/min( 所有可能来源 )➤ 第六步：初始化→ dp[0][...] 的含义要与 dp 定义一致➤ 第七步：最终答案选哪一个
总结（浓缩成 3 句话）
-
dp 数组的定义 = 子问题的最小完备描述
（必须包含做下一步决策所需的所有信息，但不能冗余） -
状态转移 = 枚举“最后一步动作”，找出所有来源状态
（DP 方程是从所有可能来源中取最优） -
初始化必须和状态含义数学上一致
（初始化错 1 个符号，整个 DP 会严重错）