题意
求有标号联通无向图的个数。
思路
不妨设 \(f_{n}\) 表示有 \(n\) 个点时有标号联通无向图的个数。
考虑用总情况减去不连通情况。
总情况
总情况显然是 \(2^{\binom{n}{2}}\)（每两个点的边选或不选）。
不连通
以 \(1\) 为参考系进行考虑，枚举 \(1\) 连通块的大小，记为 \(j\)。
\[f_{i} = \sum_{j=1}^{i-1} f_{j} \binom{i-1}{j-1}2^{\binom{i-j}{2}}
\]
code
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long longusing namespace std;const ll N = 1005,mod = 1004535809;ll n;
ll qp[N*N];
ll f[N],C[N][N];void add(ll &x,ll y){(x+=y)%=mod,(x+=mod)%=mod;
}
int main() {cin>>n;qp[0]=1,C[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){C[i][0]=1;for(int j=1;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;}for(int i=1;i<=n*n;i++)qp[i]=qp[i-1]*2%mod;for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=qp[i*(i-1)/2];for(int j=1;j<i;j++)add(f[i],-C[i-1][j-1]*f[j]%mod*qp[(i-j)*(i-j-1)/2]%mod);}cout<<f[n];return 0;
}