抽象代数-学习笔记

主要积累一些遇到的例子、题目。不定时更新。

运算

1. 有结合律的运算：普通/复数/矩阵/模意义下加法、乘法，映射复合，与或异或/集合相关，
   min/max。
2. 仅仅满足部分群公理：\(\mathbb{N}^*, \mathbb{N}\)。\(\{0,1,2\}\) 上可构造有单位元、有逆元但无结合律的运算。
3. 域的性质仅仅不满足分配律：\(\{0,1,2,3\}\) 上可构造。

域

1. 域的例子：\(\mathbb{Q,R,C}\) 配备普通加法、乘法；\(\mathbb{F}_p\) 配备模 \(p\) 意义下的加法、乘法。
2. \(\mathbb{F}_p\) 上的线性空间：\(V=(\mathbb{F}_p)^{n+1}\)。射影空间：\(\mathbf{P}(V)\)。有 \(\mid\mathbf{P}(V)\mid=\dfrac{p^{n+1}-1}{p-1}\)。Fano 平面：\(\mathbf{P}^2(\mathbb{F}_2)=\mathbf{P}((\mathbb{F}_2)^3)\)。
3. 尺规作图的域。
4. 非交换的域（除环）：Hamilton 四元数除环。
5. 大小为 \(4\) 的域：可构造：（加法为模 \(4\) 加法）

x	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	3	1
3	0	3	1	2