分布式控制器设计与精确矩动力学计算
1. 精确矩动力学计算示例
在定义配分函数的求和中，其缩减指标可以通过史密斯标准型以更系统的形式得到。假设矩阵 (P\in Z^{q\times n}) 表示 (n) 种物质的 (q) 个守恒定律。例如，在竞争结合示例中，(P = [1, 0, 0, 1, 1; 0, 1, 0, 1, 0; 0, 0, 1, 0, 1])。通常假设 (q\leq n) 且矩阵 (P) 具有满行秩 (q)。
在这个假设下，整数矩阵 (P) 可以表示为史密斯标准型，即存在两个幺模矩阵（在整数环上可逆）(U\in Z^{q\times q}) 和 (V\in Z^{n\times n})，使得 (U PV = [\Delta 0])，其中 (\Delta = diag (\delta_1, \cdots, \delta_q))，(0) 是 (q\times (n - q)) 的零矩阵，(\delta_i) 是矩阵 (P) 的初等因子。初等因子在符号变化的情况下是唯一的，并且有公式可以用 (P) 的子式来表示它们。
例如，在上述示例中，(U = I)（(3\times 3) 单位矩阵），(V = [1, 0, 0, -1, -1; 0, 1, 0, -1, 0; 0, 0, 1, 0, -1; 0, 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1]) 且 (\delta_1 = \delta_2 = \delta_3 = 1)，所以 (U PV = [I 0])。
一般来说，如果要找到 (Ak = b) 的非负整数解（对于给定的非负整数向量 (b)），可以利用 (U PV V^{-1}k = Ub)，令 (\ell = V^{-1}k)，则 (