极限
极限的定义
\(\epsilon-\delta\) 定义法：
称 \(\lim_{x\to c}f(x)=k\)，当
\(\forall \epsilon>0，\exists \delta>0\) 满足：\(\forall c-\delta <x<c+\delta(x\neq c), k-\epsilon <f(x)< k+\epsilon\)。
极限的计算
常用结论：
\(\lim_{x\to c}x=c\)
\(\lim_{x\to c}k=k\)
\(\lim_{x\to 0}\sin(x)=0\)
\(\lim_{x\to 0}\cos(x)=1\)
\(\lim_{x\to 0}\sin(x)/x=1\)
极限运算法则：
加法：
\(\lim_{x\to c}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\to c}f(x)+\lim_{x\to c}g(x)\)
减法：
\(\lim_{x\to c}cf(x)=c\lim_{x\to c}f(x)\)
乘法：
\(\lim_{x\to c}f(x)g(x)=\lim_{x\to c}f(x)\times \lim_{x\to c}g(x)\)
除法：
\(\lim_{x\to c}f(x)/g(x)=\lim_{x\to c}f(x)/lim_{x\to c}g(x)\)，当 \(g(x) \neq 0\)
幂次：
\(\lim_{x\to c}f^n(x) = [\lim_{x\to c}f(x)]^n\)，当 \(n\) 是一个正数
开根：
\(\lim_{x\to c}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to c}f(x)}\)，当 \(n\) 是一个正数，且 \(c\) 的邻域中 \(\sqrt[n]{f(x)}\) 有定义
能得出的一些结论
-
幂函数的连续性，多项式函数的连续性
-
\(\sin(x), \cos(x)\) 的连续性
证明：
补充说明：\(\lim_{x\to 0} \sin(x)=0=\sin(0)\)，\(\lim_{x\to 0}\cos(x)=1=cos(0)\) 说明了 \(x=0\) 时 \(\sin(x),\cos(x)\) 的连续性。
\(\cos(x)\) 同理。
使用 \(\epsilon - \delta\) 定义法证明极限的运算法则
略。
连续
定义
函数 \(f\) 在 \(c\) 处连续：\(\lim_{x\to c}f(x)=f(c)\)
函数在区间 \(I=(l, r)\) 连续，即 \(\forall c\in I\)，\(f(c)\) 连续。
函数在区间 \(I=[l, r]\) 连续，即 \(f\) 在 \((l, r)\) 连续且在 \(l\) 处右连续，在 \(r\) 处左连续。
连续函数的计算和性质
当 \(f, g\) 在 \(c\) 处连续：\(f+g, kf, f\times g, f/g, f^n(n \in N*), \sqrt[n]f(n \in N*)\) 连续。
当 \(g\) 在 \(b\) 处连续，\(\lim_{x\to c}f(x)=b\)，则 \(\lim_{x\to c}g(f(x))=g(b)\)。
无穷处的极限
\(x\to \infty\) 的极限同样符合极限运算法则。
渐近线
垂直渐近线：
\(x=c\) 是 \(f(x)\) 的垂直渐近线，当且仅当 \(\lim_{x\to c}f(x)=\infty\)。注意极限等于 \(\infty\) 不代表极限存在，它描述随 \(x\) 趋近于某值时 \(f(x)\) 可取任意大。同样可以用 \(\epsilon-\delta\) 方法定义。
斜渐近线：
\(y=kx+b\) 是 \(f(x)\) 的斜渐近线，当且仅当 \(\lim_{x\to +\infty}[f(x)-kx-b]=0 \vee \lim_{x\to -\infty}[f(x)-kx-b]=0\)
斜渐近线可以用以下方法计算（以 \(x\to +\infty\)）：
\(k=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}\)
\(b=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-kx]\)
导数
导数的定义
函数 \(f\) 在 \(c\) 处的导数定义为 \(\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\) 或可以写成 \(\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
导数在区间可导的定义形式与连续在区间的定义形式相同。
可导与连续的关系
-
可导一定连续。
证明：
\(f(x)\) 在 \(c\) 处可导，设 \(\lim_{x-\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=k\)。
-
连续不一定可导。
三角函数的导数
\(\cot x=\frac{1}{\tan x}\)
\(\csc x=\frac{1}{\sin x}\)
\(\sec x=\frac{1}{\cos x}\)
\(\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\)
\(\frac{d}{dx}\cos x=\sin x\)
\(\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x\)
\(\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x\)
\(\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x\)
\(\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x\)
复合函数的求导的链式法则
为了方便理解，下面使用牛顿记号而不使用莱布尼茨记号。
记 \((f \circ g)(x)=f(g(x))\)
当 \(f\) 在 \(g(x)\) 处连续，\(g\) 在 \(x\) 处连续，有 \((f \circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)\)。
证明：
我们来分析一下上式，它的一个问题是，可能 \(g(x)-g(c)=0\)。
下为对该证明的补充：
当 \(g'(c)\neq 0\)，则显然存在一个包含 \(c\) 区间使 \(g(x)-g(c)\neq 0\)。该区间可以通过极限的 \(\epsilon-\delta\) 定义构造。
当 \(g'(c)=0\)，则这里的证明还有些问题。待完善。