【半导体物理 | 学习笔记】第一章 半导体中的电子状态

一、半导体的晶格结构和结合性质

金刚石结构和共价键

典型代表：硅、锗晶体

• 正四面体

• 晶胞结构：两个面心立方晶胞套构

• 共价键结合

闪锌矿型结构和混合键

典型代表：砷化镓等III-V族

• 晶胞结构：两个面心立方晶胞套构

• 混合键

共价键占优+离子键

纤锌矿型结构

典型代表：硫化锌、硒化锌、硫化镉、硒化镉的六方排列

- 电负性差别较大->混合键

共价键+离子性结合

二、半导体中的电子状态和能带

定性解释能带形成

定量分析量子力学近似计算、极值附近展开、实验和计算相互结合

原子的能级和晶体的能带

• 单原子：电子壳层
  (see:电子的共有化运动)

• 电子的共有化运动
  (see:能级分裂->能带)

• 能级分裂->能带

  • 每个N度简并的能级分裂成N个相距很近的能级

  • 能带中的能级准连续

• 电子运动

外壳层原来处于高能级，共有化运动显著，成为“准运动电子”

半导体中的电子状态和能带

• 晶体中薛定谔方程的解形式

  • 单电子近似

  • 绝热近似

布洛赫波函数$$\varPsi_k(x)=u_k(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx},\quad u_k(x)=u_k(x+na)$$

波矢\(\boldsymbol{k}\)描述共有化运动状态,具有量子数作用

• 布里渊区与能带

  • \(E(k)-k\)关系

  • 分立、准连续、周期性（合并为简约布里渊区内的多值函数）

有限晶体边界条件$$k=\frac{2\pi n}{L}$$

\[k=\frac{n\pi}{a}\quad (n=0,\pm 1,\pm 2,\dots)$$时，能量不连续(see:导体、半导体和绝缘体的能带) 第一布里渊区$$-\frac{\pi}{a}<k<\frac{\pi}{a}\]

• 倒格矢

联系实空间与k空间

导体、半导体和绝缘体的能带

允带

导带

导带底能量\(E_\mathrm c\)

• 被电子部分占满的能带

• 外场作用下，电子吸收能量跃迁到未被电子占据的能级，形成电流

价带(满带)

价带顶能量\(E_\mathrm v\)

• 被电子完全占满的能级

• 不形成电流，对导电无贡献

禁带

• 允带之间没有能级的部分

禁带宽度\(E_\mathrm g=E_\mathrm c-E_\mathrm v\) 与温度有关

\[T=0 \]

本征激发

空穴与电子成对激发

价带上的电子被激发成为准自由电子（价带电子激发成为导带电子）

三、半导体中的电子运动

半导体中\(E(k)\)与\(k\)的关系

能带极值附近

\[E(k)=E(0)+\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}k}\right)_{k=0}k+\frac{1}{2}\left(\frac{{\mathrm{d}^2} E}{\mathrm{d}k^2}\right)_{k=0}k^2+\dots \]

\[E(k)-E(0)=\frac{1}{2}\left(\frac{{\mathrm{d}^2} E}{\mathrm{d}k^2}\right)_{k=0}k^2 \]

\[E(k)-E(0)=\frac{\hbar^2 k^2}{2m^*_{\mathrm{n}}} \]

令有效质量 $$m^*_{\mathrm n}=\hbar^2/\left( \frac{{\mathrm{d}^2} E}{\mathrm{d}k^2} \right)$$

半导体中电子的平均速度

波包群速

\[v=\frac{1}{\hbar}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}k}=\frac{\hbar k}{m^*_{\mathrm{n}}} \]

半导体中的外力作用

外力 \(f\) 下， $$a=\frac{f}{m^*_\mathrm{n}}$$

\(f-k\) 关系 $$f=\hbar\frac{\mathrm d k}{\mathrm d t}$$

准动量 \(\hbar k=m^*_\mathrm{n}v\)

有效质量的意义

定义 $$m^*{\mathrm n}=\hbar^2/\left( \frac{{\mathrm{d}^2} E}{\mathrm{d}k^2} \right)$$

概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用。

由实验测定

导带底，\(m^*_{\mathrm{n}}\gt 0\)

价带顶，\(m^*_{\mathrm{n}}\lt 0\)

四、半导体中的空穴运动

假想粒子空穴

• 将大量电子对电流的贡献用少量空穴表达

• 位于价带顶

• 有效质量 \(m^*_\mathrm p=-m^*_\mathrm n\)

• 电荷量+q

五、回旋共振

\(\boldsymbol{k}\)空间等能面

\[\frac{{k_x-k_{0x}}^2}{\frac{2m^*_x(E-E_c)}{\hbar^2}}+ \frac{{k_y-k_{0y}}^2}{\frac{2m^*_y(E-E_c)}{\hbar^2}}+ \frac{{k_z-k_{0z}}^2}{\frac{2m^*_z(E-E_c)}{\hbar^2}}=1 \]

椭球面，旋转椭球面或球面;有多个\(k_0\)

回旋共振描述

高纯度,完整晶格,低温,
实验中固定 \(\omega_c\) ,改变 \(\vec{B}\) 与坐标轴夹角 \(\alpha,\beta,\gamma\)

电磁波通过半导体样品，当 \(\omega_c=\omega\) (微波至红外)时，发生共振吸收

\[\omega_c=\frac{qB}{m^*_\mathrm n}, \frac{1}{m^*_\mathrm n}=\sqrt{\frac{m^*_x \alpha^2+m^*_y \beta^2+m^*_z \gamma^2}{m^*_x m^*_y m^*_z}} \]

六、硅和锗的能带结构

导带结构

等能面 $$E(\boldsymbol k)=\frac{\hbar^{2}{2}\left[\frac{k_1}2+k_2^{2}{m_\mathrm{t}}+\frac{k_3}2}{m_\mathrm{l}}\right]$$

\(m_\mathrm t\):横向有效质量;
\(m_\mathrm l\):纵向有效质量

• 硅:旋转椭球面，<1 0 0>方向，6个，中心点0.85倍布里渊区

• 锗:旋转椭球面，<1 1 1>方向，8*(1/2)个，中心点布里渊区边界上

• 砷化镓:球形，1个，位于中心

\[m^*_\mathrm n=m_\mathrm t\sqrt{\frac{m_\mathrm l}{m_\mathrm t \sin^2 \theta+m_\mathrm l \cos^2\theta}} \]

\(\theta\) 为 \(\vec{B}\) 与椭球长轴方向夹角

不同\(\theta\) 对应不同的 \(m^*_\mathrm n\) ，即吸收峰数量

价带结构

导带底有多个极小值（能谷），只关心最低能量处

• 轻空穴和重空穴

看价带顶曲线顶点处曲率

带隙结构

• 直接带隙：导带底和价带顶对应波矢相同

更易激发

• 砷化镓

• 间接带隙：导带底和价带顶对应波矢不同

  • 硅、锗

• 禁带宽度

  • 温度升高、禁带宽度减小

*七、III-V族化合物半导体的能带结构