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线性规划模型建模实战（投资组合优化案例）笔记

一、案例背景与目标

1.1 投资场景设定

• 市场存在 n种可投资资产Sᵢ（i=1,2,...,n），需用大额资金M进行一期投资；
• 资产核心参数（示例）：

  资产Sᵢ	平均收益率rᵢ	风险损失率qᵢ	交易费率pᵢ	最低交易定额uᵢ（元）
  S₁	-	-	-	103
  S₂	21%	1.5%	2%	198
  S₃	23%	5.5%	4.5%	-
  S₄	25%	2.6%	6.5%	40

• 无风险参考：同期银行定期利率 r₀=5%（几乎无风险）。

1.2 核心目标

双目标优化：

1. 最大化净收益；
2. 最小化总风险。

二、符号规定与基本假设

2.1 符号定义（建模基础）

• Sᵢ：第i种投资项目（如股票、债券）；
• rᵢ：Sᵢ的平均收益率；
• qᵢ：Sᵢ的风险损失率（衡量单资产风险）；
• pᵢ：Sᵢ的交易费率；
• uᵢ：Sᵢ的最低交易定额（低于此金额按uᵢ算费率）；
• xᵢ：投资于Sᵢ的资金金额；
• α：投资风险度（可接受的最大风险上限）；
• Q：总收益风险度（需最小化的指标）；
• M：总投资资金（数额极大）。

2.2 关键假设（简化建模场景）

1. 资金规模假设：M极大，投资到各资产的金额通常＞uᵢ（简化交易费计算）；
2. 风险度量假设：总风险用“所有资产中最大风险”度量（避免风险值超100%的不合理情况）；
3. 收益分散假设：投资越分散，总收益越小；
4. 参数固定假设：投资期内rᵢ、qᵢ、pᵢ均固定，不受其他因素干扰；
5. 净收益影响假设：净收益仅由rᵢ、pᵢ、xᵢ决定，与其他无关。

三、核心计算：交易费与净收益

3.1 交易费计算（分段函数）

• 当xᵢ ≤ uᵢ时：交易费 = pᵢ × uᵢ（按最低定额收费）；
• 当xᵢ ＞ uᵢ时：交易费 = pᵢ × xᵢ（按实际金额收费）；
• 简化处理：因M极大，xᵢ通常＞uᵢ，交易费直接按“pᵢ × xᵢ”计算。

3.2 净收益计算

• 单资产净收益 =（平均收益率 - 交易费率）× 投资金额 = (rᵢ - pᵢ) × xᵢ；
• 总净收益 = Σ[(rᵢ - pᵢ) × xᵢ]（需最大化）。

四、核心方法：多目标规划转线性规划

原问题为多目标规划（最大化收益+最小化风险），需转化为单目标线性规划求解，3种核心转化思路：

转化方法	核心思路	适用场景
固定风险边界	1. 设定可接受的风险度α； 2. 约束条件：qᵢ×xᵢ/M ≤ α（所有i）； 3. 目标：最大化净收益	已知投资者风险承受能力（如“最多接受0.6%风险”）
固定盈利水平	1. 设定最低盈利目标k； 2. 约束条件：总净收益 ≥ k； 3. 目标：最小化总风险	投资者有明确收益底线（如“净收益≥20%”）
引入偏好系数	1. 设定偏好系数λ（0≤λ≤1，λ越大越重视收益）； 2. 目标函数：max [λ×总收益 - (1-λ)×总风险]	投资者对风险和收益有明确偏好

五、模型构建与求解（以“固定风险边界”为例）

5.1 目标函数（适配Matlab linprog）

linprog仅支持最小化，需对总净收益加负号转化：
min Z = -Σ[(rᵢ - pᵢ) × xᵢ]

5.2 约束条件

1. 风险约束：qᵢ×xᵢ/M ≤ α（所有i，控制总风险不超可接受上限）；
2. 资金约束：Σ[(1 + pᵢ)×xᵢ] = M（总投资金额+总交易费=总资金M）；
3. 非负约束：xᵢ ≥ 0（投资金额不能为负）。

5.3 求解步骤

1. 设定α范围：α从0开始，每次递增0.001，直至α=0.5（覆盖合理风险区间）；
2. 循环求解：对每个α，用linprog求解线性规划，得到最优xᵢ（各资产投资金额）和对应最优收益；
3. 结果记录：整理不同α下的最优收益，用于后续分析。

六、结果分析与投资建议

6.1 风险与收益规律

• 总体趋势：风险度α越高，净收益越高（符合“高风险高收益”原则）；
• 关键拐点（实战结果）：
  1. 第一个拐点（α≈0.006/0.6%）：
     • 拐点左侧（α＜0.006）：风险小幅上升→收益快速增长（“风险性价比最高”区间）；
     • 拐点右侧（α＞0.006）：风险上升→收益增长放缓；
  2. 第二个拐点（α≈0.025/2.5%）：
     • 拐点右侧（α＞0.025）：风险继续上升→收益几乎无变化（“风险无效区间”）。

6.2 投资建议

• 无风险偏好投资者：选择α≈0.006，对应净收益约20%（低风险+高性价比）；
• 中等风险承受者：α控制在0.006~0.025之间（平衡风险与收益）；
• 所有投资者：α建议不超过0.025（避免进入“风险无效区间”）。

七、编程注意事项（Matlab linprog）

1. 约束符号处理：若约束为“≥”（如固定盈利目标），需对约束两边加负号，转化为“≤”；
2. 上下限设置：仅需下限（如xᵢ≥0）时，上限ub设为空（[]）；仅需上限时，下限lb设为空；
3. 目标函数符号：需“最大化”目标时，必须对目标函数加负号（适配linprog的最小化逻辑）；
4. 矩阵格式：约束条件需整理为A×x ≤ b的矩阵形式，符合linprog输入要求。

八、课后作业（线性规划实战）

某厂生产3种产品，每种产品需经A、B两道工序加工，已知工序产能、产品利润等参数，构建线性规划模型求解“最优生产计划”（目标：最大化总利润），课下完成建模与求解，后续讲解。