16、状态空间模型与状态反馈控制：原理、应用与案例分析

状态空间模型与状态反馈控制：原理、应用与案例分析

1. 系统特征值

在控制系统中，连续时间系统矩阵 (A_c) 的特征值用 (\lambda) 表示，对应的离散时间系统矩阵 (A)（采样间隔为 (\Delta t)）的特征值用 (z) 表示。它们之间存在这样的关系：
- 由 (A = e^{A_c\Delta t}) 可得 (z = e^{\lambda\Delta t})。
- 反之，(\lambda = \frac{\ln z}{\Delta t})。

需要注意的是，从离散时间模型到连续时间模型的转换并非唯一。因为复数自然对数的虚部可以通过加上 (2\pi) 的任意倍数来调整，这使得 (\lambda) 可以取不同的值，即 (z = e^{\lambda\Delta t} = e^{\lambda\Delta t + 2ik\pi})，进而 (\lambda + i\frac{2k\pi}{\Delta t} = \frac{\ln z}{\Delta t})（(k) 为任意整数）。这意味着，当以采样时刻进行观测时，任何相差 (2\pi / \Delta t) 倍数的两个频率是无法区分的。所以在实际应用中，如果想要解释物理系统的固有频率，要么采样间隔 (\Delta t) 必须足够短，要么添加滤波器以防止超过奈奎斯特频率的频率被误判为真实频率。

(z = e^{\lambda\Delta t}) 这一映射将 (\lambda) 复平面的左半部分（或右半部分）映射到 (z) 复平面单位圆内（或外）的区域。

示例：考虑系统 (A_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -1 &