价值空间中的近似方法
在控制和优化问题中，价值空间近似是一种重要的技术，它可以帮助我们在复杂问题中找到次优解。下面将详细介绍价值空间近似的相关方法和概念。
1. 价值空间近似计算方法
在计算近似成本函数 $\tilde{J}_k$ 时，有以下四种主要方法：
-问题近似：通过简化优化问题来获取 $\tilde{J}_k$，这些简化包括利用可分解结构、忽略各种不确定性以及减小状态空间的大小。其中，减小状态空间大小的方法被称为聚合，后续会单独讨论。
-在线近似优化：通常使用次优策略或启发式方法，在需要时在线应用以近似真实的最优成本到目标值。例如，滚动算法和模型预测控制就是这类方法的典型例子。
-参数化成本近似：从给定的参数化函数类 $\tilde{J}_k(x_k, r_k)$ 中获取 $\tilde{J}_k$，其中 $r_k$ 是参数向量，通过合适的算法进行选择。参数化类通常通过使用 $x_k$ 的显著特征来获得，这些特征可以通过对问题的洞察或使用训练数据和神经网络来得到。
-聚合：这是一种特殊但较为复杂的问题近似形式。例如，为每个阶段选择一组代表性状态，将动态规划（DP）算法限制在这些状态上，并通过代表性状态的最优成本到目标值的插值来近似其他状态的成本到目标值。另一种聚合方式是将状态空间划分为子集，将每个子集视为一个“聚合 DP 问题”的状态，然后从聚合问题的最优成本函数中导出 $\tilde{J}_k$。
这些方法还可以与式 (2.1) 中关于 $u_k$ 的近似最小化相结