该结构是用来处理一类关键点问题的。
具体地，我们压缩树的信息，每次需要选出 \(k\) 个点 \(h_1,h_2,\dots,h_k\)，它们在树上两两路径是重要信息。我们一般会在一个路径的拐点即 \(u\to v\) 的 \(\text{LCA}(u,v)\) 上处理这条路径，那么我们不妨令虚树包含 \(h_i\) 及所有 \(\text{LCA}_{i<j}(h_i,h_j)\)，然后树上 DP 或者 DFS 什么的就可以解决问题。
建树
方法 1
所有关键点按 DFS 序升序排序，排序后任意两个相邻点求 \(\text{LCA}\) 并加入关键点序列然后再次排序并去重，最后在序列上枚举任意两个相邻点 \(x,y\) 并连接 \(\text{LCA}(x,y)\to y\) 即可。
这样的做法直观理解是容易的。首先有结论，加入的那一堆点后序列中包含虚树中所有点，证明是容易的，这个结论 NOIP 2024 T4 也有用到。
Proof
假设有任意一个 \(\text{LCA}(h_i,h_j)\) 没有被加入序列中，如果这个 \(\text{LCA}\) 与 \(h_i\) 或 \(h_j\) 任意其一相等那么它肯定在序列中，否则考虑 \(h_i,h_j\) DFS 序排序后中间有没有点。如果没有，根据上述方法会加入序列。如果有且有的在 \(h_i\) 的子树中（\(A\) 集合，为了全面性包括 \(h_i\)），有的挂在 \(\text{LCA}\to h_j\) 的链上（\(B\) 集合，同样包括 \(h_j\)），那么 \(A\) 和 \(B\) 一定会有一个 DFS 序排序后相邻的点贡献给 \(\text{LCA}\)。
我们按照 DFS 序排序，那么连边的过程类似于进行搜索，考虑 \(x\) 在排列中上一个相邻节点，如果其在祖先链上那么肯定就是它在虚树上的直接父亲 \(fa\)，否则一定是 \(fa\) 在搜索过程中在另一个子树中的最后一个节点，其 \(\text{LCA}\) 必定是 \(fa\)。
代码请前往 OI-wiki。
方法 2
我们先所有关键点按 DFS 序升序排序，然后顺序遍历模拟原树上 DFS 过程，用单调栈记录当前链上的虚树上的点有哪些，所有虚树上边在节点出栈时连接。每次加入节点 \(u\) 时令 \(lc=\text{LCA}(u,stack_{top})\)，弹出栈顶直到栈顶的下一个元素的 DFS 序 \(<dfn_{lc}\)，然后如果此时栈顶就是 \(lc\)，直接加入即可。否则把 \(lc\) 插入到栈中两个 DFS 序相邻的位置，然后继续弹出后面那个东西。最后如果栈顶不是 \(u\) 把 \(u\) 入栈即可。
for(int i=1;i<=k;i++)cin>>h[i],tg[h[i]]=now,head[h[i]]=0;
sort(h+1,h+1+k,cmp);
stk[++tp]=1;head[1]=0;
for(int i=1;i<=k;i++){int lc=LCA(stk[tp],h[i]);while(dfn[lc]<dfn[stk[tp]]){if(tp>1){if(dfn[stk[tp-1]]<dfn[lc]){stk[tp+1]=stk[tp];head[lc]=0;stk[tp]=lc;tp++;}ins(stk[tp-1],stk[tp],dis(stk[tp-1],stk[tp]));}tp--;}if(stk[tp]!=h[i])stk[++tp]=h[i];
}
while(tp>1)ins(stk[tp-1],stk[tp],dis(stk[tp-1],stk[tp])),tp--;