不保证正确性
加法公理：\((F,+)\) 是群。复习群：有单位元，逆元，交换律，结合律，封闭性
乘法公理：\((F^{*},\cdot)\) 是群。
域：\((F,+,\cdot)\) 。
序的定义：\(F\) 上的二元关系 \(<\) 满足：
-
\(\forall x,y\in F\) ，一定有 \(x<y\) 或 \(y<x\) 或 \(x=y\) (唯一性)
-
\(\forall x,y,z\in F\) ，\(x<y\land y<z\rightarrow x<z\) (传递性)
有序域：
\(\forall x,y,z\in F,y<z\rightarrow x+y<x+z\)
\(\forall x,y\in F,x>0\land y>0 \rightarrow xy>0\)
上下界：
对于有序集 \(F\) 和 \(E\subseteq F\) 。
若 \(\alpha \in F\) 满足 \(\forall x\in E,x\le \alpha\) ，则 \(\alpha\) 是 \(E\) 的上界。下界同理定义。
最大，最小值
若 \(\beta\) 是 \(E\) 的上界且 \(\beta\in E\) ，则 \(\beta=\max\{E\}\) ，称为最大值。最小值同理。
上下确界
若 \(\beta_0\) 是 \(E\) 的上界，且 \(\forall \beta \in F,\beta <\beta _0\) \(\beta\) 不是 \(E\) 的上界，则 \(\beta_0\) 为上确界。记 \(\beta_0=\sup\{E\}\) 。
同理定义 \(\inf\{E\}\) 。
阿基米德倍越定理
\(\forall x,y\in R\) 满足 \(x>0\) ，存在唯一的整数 \(k\) ，使得 \((k-1)x\le y<kx\) ，或者 \((k-1)x<y\le kx\) 。
证明：取集合 \(E=\{n\in Z|n>\frac{y}{x}\}\) ，容易说明 \(E\) 非空，令 \(k\) 是 \(E\) 的最小数，则 \(k-1\le \frac{y}{x}<k\) 。
同理取 \(\{n\in Z|n\geq \frac{y}{x}\}\) ，可以找到 \(k-1<\frac{y}{x}\le k\) 。
一个较难例题
\(A=\{x\in Q|x<0\lor x^2<2\}\) ，\(B=\{x\in Q|x>0\land x^2>2\}\) ，证明 \(A\) 没有上确界，\(B\) 没有下确界。
注意到 \(A\cup B=Q\) 且 \(A\cap B=\empty\) 。
先证明 \(A\) 无最大数：若 \(x\le 0\) ，显然不是最大数。若 \(x\geq 0\) ，尝试找到 \(\theta>0\) 使得 \(x_1=x+\theta(2-x^2)\) 且 \(x_1^2<2\) 。
取 \(\theta=\frac{1}{2x}\) ，则 \(x_1=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}\) 。则 \(x_1^2=1+\frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2}<2\) 。显然 \(x_1\in A\) 。这说明 \(x\) 不是最大值。
同理 \(B\) 无最小数。
接下来反证：若 \(A\) 有上确界 \(\sup A\) ，因为 \(A\) 没有最大值，所以 \(\sup A \in B\) 。 \(\forall x\in B\) ，如果 \(x<\sup A\) ，则存在 \(a\in A\) 使得 \(x<a\) 。矛盾！
这说明 \(\sup A\) 是 \(B\) 的最小值。但这也和之前的结论矛盾了。
上下确界性质
一个全序集 \(F\) ，任意 \(E\subseteq F\) 都满足：若 \(E\) 有上界，则 \(E\) 有上确界。则称 \(F\) 具有上确界性质。同理定义下确界性质。
可以证明：若具有上确界性质，则必有下确界性质。反之亦然。
于是我们统称为 有确界性质
怎么证呢？若 \(F\) 具有上确界性质且 \(E\) 具有下界，令 \(E_0\) 是 \(E\) 的下界构成的集合。那么 \(E_0\) 显然有上界：\(E\) 中每一个元素都是 \(E_0\) 的上界。
令 \(a=\sup \{E_0\}\) ，接下来说明 \(a=\inf\{E\}\) 。我们首先证明 \(a\) 是 \(E\) 的下界，也就是 \(a\in E_0\) 。
考虑 \(\forall t\in E\) ，\(t\) 都是 \(E_0\) 的上界。由于 \(a=\sup\{E_0\}\) ，即可说明 \(\forall x\in E,x\geq a\) 。则有 \(a\) 为 \(E\) 的下界。
那 \(a=\sup\{E_0\}\) 又说明：\(\forall t\in F\) 满足 \(t\) 是 \(E\) 的下界，有 \(t\in E_0\) ，则 \(t\le a\) 。于是可证 \(a=\sup\{E_0\}\)
两次数学危机
第一，存在非有理数。
\(a=\sqrt{2}\) 不是有理数。
证明：假设 \(a\in Q\) ，则 \(\exists{p,q}\in N\) 使得 \(a=\frac{p}{q},(p,q)=1\)
那么 \(p^2=2q^2\) 。于是 \(2|p\)，令 \(p=2k\) ，则 \(2k^2=q^2\) 。那么 \(2|q\)。
这与 \((p,q)=1\) 矛盾
第二，数的无限可分性。
比如 \(1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots\)
定义实数集
戴德金分割：
满足以下条件的 \(Q\) 的子集 \(A\) 被称为戴德金分割：
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\(A\neq \empty,A\neq Q\)
-
若 \(q\in Q\) 且存在 \(p\in A\) 使得 \(q<p\) ，则 \(q\in A\)
-
\(p\in A\rightarrow\) 存在 \(q\in A\) ，使得 \(p<q\)
设所有戴德金分割构成了集合 \(R\) 。
定义序：\(A<B\leftrightarrow A\subsetneq B\)
可以证明这是全序集。接下来证明它具有确界性质：
对于 \(R'\subseteq R\) ，令 \(B\) 是 \(R'\) 的一个上界，令 \(P=\bigcup\limits_{A\in R'}A\) 。可以证明 \(P\in R\) 且 \(P=\sup\{R'\}\)
加法的定义：\(A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\}\)
结合律，交换律，封闭性都显然。
零元：\(0_R=\{x\in Q|x<0\}\)
\(A\) 的负元，即找到 \(B\) 使得 \(A+B=0_R\)
\(-A=\{b\in Q|\exists r\in Q,r>0,\text{s.t.} -b-r\notin A\}\)
乘法的定义：
令 \(R^{+}=\{A\in R|A>0_R\}\) ，我们先在 \(R^{+}\) 上定义乘法。
\(AB=\{p\in Q|\exists r\in A,r>0且 \exists s\in B,s>0,使得p=rs\}\)
令 \(1^{*}=\{x\in Q|x<1\}\) 为单位元。
定义 \(A\) 的逆元：
\(B=\{p\in Q|\exists \epsilon_p>0,\text{s.t.}p<\frac{1}{r}-\epsilon_{p},\forall 0<r\in A\}\)
那么在 \(R\) 上，我们可以这样定义乘法：
对于 \(A<0_R,B<0_R,AB=(-A)(-B)\) 。其他同理。