目录

前言

1.1 角动量的定义

1.2 角动量的大小与方向

1.3 特殊形式

圆环绕固定轴转动

刚体绕固定轴转动

圆盘绕固定轴转动

1.4 转动惯量表示

二、力矩

2.1 力矩的定义

2.2 力矩的大小与方向

三、角动量守恒

四、科里奥利力

4.1 科里奥利的定义

4.2 科里奥利的大小和方向

五、IMU 器件工作原理

5.1 三轴加速度如何得到

5.2 三轴角速度与角位移如何得到

路径 1：陀螺仪积分

路径 2：加速度计读重力

路径 3：磁力计读地磁场

实际做法：传感器融合

5.3 信息误差排序

5.4 为什么 Z 轴（yaw）精度最差

5.5 消费级 IMU 目前最大的局限

总结

前言

在很多 IMU 相关文章中，陀螺仪的工作原理常常被一句“利用科里奥利力”一笔带过，却很少把背后的物理逻辑真正讲顺。 本文尝试从最基础的角动量、力矩和角动量守恒讲起，再引出科里奥利力的物理图像，最后连到 MEMS 加速度计、陀螺仪与磁力计在 IMU 中如何协同工作。 只要你愿意耐心读完这条链路，你会看到：IMU 并不是一个“黑盒传感器”，而是一整套基于角动量与惯性力构建的精巧工程系统，同时也会理解为什么消费级 IMU 在位移、航向精度上存在看似“天生治不好的”局限

（因为编辑器向量符合不友好，用A~表示向量A）

一、角动量

1.1 角动量的定义

在直线运动中，我们用动量来描述"物体运动的多少"。但很多运动不是平动，而是转动——陀螺旋转、地球绕太阳公转、车轮绕轴转动。

转动有自己的"惯性"和"运动量"，动量无法完整描述。于是物理学家引入一个新的物理量——角动量（Angular Momentum），记作 L~。

一个质量为 m、速度为 v~ 的质点，相对于参考点 O 的角动量定义为：

其中：

• r~：从参考点 O 指向质点的位矢；
• p~：质点的动量；
• "×"是叉乘（向量积）

从定义式出发做量纲分析可得到角动量的单位：

关键点：角动量永远是"相对于某一点"而言的，离开参考点谈角动量没有意义。

1.2 角动量的大小与方向

由叉乘的定义直接得到角动量的大小：

其中 θ 是 r~ 与 p~ 之间的夹角。

理解 sin⁡θ 的物理含义

把动量 p~ 分解为两个分量：

• 径向分量（沿 r~ 方向）：只改变质点离 O 点的距离，不产生转动；
• 切向分量（垂直 r⃗）：真正让质点绕 O 点转的部分，大小为 psin⁡θ。

所以：

两个特例：

• 若 v~ 与 r~ 平行（θ=0，径直朝 O 点冲去）：L=0，因为没有绕 O 的转动；
• 若 v~ 垂直 r~（θ=90∘，圆周运动）：L=mvr，达到最大。

角动量是矢量，其方向由叉乘的数学定义给出，实际操作中用右手定则：

方法一：右手四指弯曲法（最直观）

1. 伸出右手；
2. 四指沿物体转动方向弯曲（想象你要握住转轴）；
3. 大拇指的指向就是角动量 L~ 的方向。

方法二：叉乘顺序法（从定义出发）

按 L~ = r~ × p~ 的顺序：

1. 右手四指先指向 r~ 的方向；
2. 沿小于 180∘ 的角度转向 p~ 的方向；
3. 大拇指的指向即为 L~。

平面内的约定符号

当转动发生在纸面内时，约定：

• 逆时针转动：L~ 垂直纸面向外，指向读者，符号 ⊙（箭头尖朝向你）；

• 顺时针转动：L~ 垂直纸面向里，符号 ⊗（箭头尾部的羽毛朝向你）。

1.3 特殊形式

圆环绕固定轴转动

一个密度均匀圆环用几根不计质量的轻质钢缆连接一圆心固定轴，圆环绕固定轴转动，问整个圆环的角动量是多少？

用微元法分析，圆环的极小一段质量为mi，角动量大小为：

整个圆环的角动量就是所有极小一段角动量的累加：

其中 r 为圆环的半径，v 是角速度，w 是线速度。

刚体绕固定轴转动

一根密度均匀的刚体绕固定轴转动时（比如说一根木棍绕某一固定轴转动），问整个刚体（木棍）的角动量是多少？

用微元法分析，距离端点距离 ri 的质量为 mi 的极小一段角动量大小为：

整体积分后得到整个刚体的角动量：

其中 m 是刚体（整个木棍）总质量，r 是刚体（整个木棍）的长度，w 是刚体（木棍）绕固定轴转动的角速度。

圆盘绕固定轴转动

一个密度均匀的圆盘绕圆心固定轴转动时，问整个圆盘的角动量是多少？

从圆环绕固定轴转动可知，圆盘的某一个半径为 r ，质量为 mi 的圆环角动量为：mi * r^2 * w

整体积分后得到整个圆盘的角动量：

其中m是圆盘总质量，r 是圆盘半径，w 是角速度。

1.4 转动惯量表示

还有一个用转动惯量表达式如下：

• I=∑mi ri^2：转动惯量
• ω：角速度。

转动惯量 I 是衡量"转动惯性"的大小（质量分布离轴越远，I 越大）；各物体转动惯量如下：

二、力矩

2.1 力矩的定义

开门时，你会推离门轴远的地方，而不是贴着门轴推——同样的力，推的位置不同，效果完全不同。再比如用扳手拧螺母：扳手越长越省力；而且你必须垂直于扳手用力才有效，顺着扳手方向推拉则毫无效果。

这些经验说明：力能不能让物体转动，不仅取决于力的大小，还取决于力的作用点和方向。描述这种"力的转动效果"的物理量，就是力矩（Torque / Moment of Force），记作 τ~ 或 M~。

力对某参考点 O（支点/转轴上的点）的力矩定义为：

• r~：从参考点 O 指向力的作用点的位矢；
• F~：作用在物体上的力；
• "×"是叉乘。

由 τ=Fr 直接得到：

注意：虽然 1 N⋅m=1 J，但力矩绝不写成焦耳。因为功是力与位移的点乘（标量），力矩是位矢与力的叉乘（矢量），物理含义完全不同。约定俗成地，力矩用 N⋅m，能量用 J，以示区分。

2.2 力矩的大小与方向

由叉乘定义：

其中 θ 是 r~ 与 F~ 的夹角。

把力 F~ 分解成两部分：

• 沿 r~ 方向的分量（Fcos⁡θ）：只把物体推向/拉离支点，不产生转动；
• 垂直 r~ 的分量（Fsin⁡θ）：真正让物体绕支点转的部分。

所以：

其中 d=rsin⁡θ 叫做力臂——它是支点 O 到力的作用线（沿力方向的延长线）的垂直距离。

两个特例：

• 力的作用线通过支点（d=0）：力矩为零，比如门轴处的力推不开门；
• 力垂直于r~（d=r）：力矩最大，τ=Fr，这就是为什么垂直扳手用力最有效。

力矩是矢量，方向由定义公式决定，判断方法与角动量完全一样：

1. 右手四指先指向 r~ 的方向；
2. 沿小于 180∘ 的角转向 F~ 的方向；
3. 大拇指指向即 τ~ 的方向。

τ~ 垂直于 r~ 和 F~ 所在的平面（即转动平面）。

平面内的约定：

• 使物体逆时针转动的力矩：方向垂直纸面向外 ⊙，取正；
• 使物体顺时针转动的力矩：方向垂直纸面向里 ⊗，取负。

还可以用转动惯量表示：

其中 α 是角加速度 ，说明同样的力矩作用在转动惯量不同的物体上，角加速度不同——这就是"转动惯量大 = 难改变转动状态"。

三、角动量守恒

对 L~ = r~ × p~ 求导：

（因为 v~ 与 p~ 平行，叉乘为零。）于是得到角动量定理：

即：合外力矩等于角动量的变化率。

由此立即推出角动量守恒定律：若合外力矩不变，则角动量恒定不变。

四、科里奥利力

4.1 科里奥利的定义

想象你站在一个旋转的圆盘（游乐场转盘）中心，想让手里的球笔直地扔向站在边缘的朋友。在你自己看来，球飞出去后，轨迹开始弯曲，好像被一只无形的手从侧面推了一把。

但站在地面上（不转动的）朋友会说：球的轨迹根本没有弯曲，球从出手那一刻起就是直线运动的，只是你脚下的圆盘在转，你的参考系在转。所以你会觉得球的轨迹开始弯曲了。

这个在旋转的圆盘的我看到球的轨迹会弯曲，那么对我来说，就必须有一个侧向力作用到球，这个侧向力就是科里奥利力。但是我们知道，侧向力是不存在的，是旋转参考系下产生的假象，所以说：科里奥利力不是物体间真实的相互作用力，而是因为观察者处在旋转参考系中，为了仍然能用牛顿定律描述运动，而被迫"虚构"出来的力。这类力统称惯性力（或称虚拟力）。

科里奥利力类似我们已知的离心力，可以计算大小，可以确定方向，但不是真实存在的。

在角速度为 ω~ 的旋转参考系中，质量为 m、相对速度为 v~ 的物体，受到的科里奥利力为：

其中：

• m：物体质量；
• ω~：旋转参考系的角速度矢量；方向等同与角动量的方向
• v~：物体在旋转参考系内的相对速度；
• ×：叉乘；
• 负号：表示力的方向与 ω~ × v~ 相反。

4.2 科里奥利的大小和方向

科里奥利力的大小由叉乘的定义给出：

θ 是ω~ 与 v~ 两个矢量之间的夹角。

理解 θ 的三种情形：

只有速度中垂直于转轴的分量vsin⁡θ 才会产生科里奥利效应。因为：

• 沿转轴方向运动时，物体只是"沿着轴滑动"，没有跨越不同半径的旋转圈层，不存在线速度差异，自然不受侧推力；
• 垂直于转轴运动时，物体在旋转平面内穿越不同半径，线速度差异最显著，侧推力最大。

方向用右手定则加负号判断（等同于左手定则）

先算 ω~×v~ 的方向：右手四指从 ω~ 转向 v~，拇指指向即叉乘结果方向。再取负号反向，就是 Fc~ 的实际方向。

从以上可以看出：

速度越大、转速越快，偏转越强；若运动方向平行于转轴（θ=0），则不受影响；方向永远垂直于运动方向，所以它只改变运动方向，不改变速度大小（不做功）；

为什么有系数 2：一半来自"你运动到新位置时该处的线速度变了"（位置效应），另一半来自"旋转系本身的方向在转，你的速度矢量也随之转动"（方向效应），两者恰好各贡献 mωv，加起来是 2mωv。

五、IMU 器件工作原理

IMU（Inertial Measurement Unit，惯性测量单元）的本质是一颗（或一组）MEMS 微机械芯片，把几类"惯性传感器"集成在一起：

• 加速度计 + 陀螺仪 =6 轴 IMU（手机标配）；
• 再加磁力计 =9 轴（常称 AHRS 姿态参考系统的基础）。

IMU 芯片只"直接"测出加速度和角速度两个物理量。速度、位移、角度全部靠积分算出来——这一件事决定了后面所有误差的大小排序。

5.1 三轴加速度如何得到

物理原理：弹簧-质量块-电容

加速度计内部是一个微小的质量块（proof mass），通过弹性悬臂梁固定在框架上，两侧布置叉指状电容极板：

1. 芯片静止或匀速运动时，质量块居中，左右电容相等；
2. 当芯片有加速度 a 时，质量块因惯性滞后，相对框架产生位移 x；
3. 由牛顿第二定律与弹簧力平衡：ma=kx，即位移 x∝a；
4. 位移改变了左右叉指电容的差值 ΔC，电路测出 ΔC，换算出加速度；

为了得到ax,ay,az三轴加速度，原理都是三套这样的结构互相垂直摆放。但在实际应用中，有的是"单质量块六方向检测"（就是一个质量块，六个方向全部接上弹簧和电容电极），也有的是"面内一个结构测 X/Y + 单独一个结构测 Z"的两块方案，但物理本质完全一样。

重要细节：加速度计测的是"比力"——它分不清真实的加速度和重力。静止时 z 轴仍会读出 1g。这一点后面既是优点（测姿态）也是缺点（污染运动测量）。

IMU 从不直接测速度和位移，它们是纯计算量，由积分而来：

5.2 三轴角速度与角位移如何得到

测角速度靠的就是科里奥利力。

质量块被静电驱动，始终在 x 方向振动（这叫"驱动模态"）；一旦芯片绕 z 轴以角速度 ω~ 旋转，质量块就会受到一个水平 y 方向的科里奥利力，那么质量块就会在水平 y 方向发生偏移；在 y 方向上布置了检测电容（"检测模态"），电容大小变化，体现了质量块偏移量，从而求出科里奥利力 Fc，继续求出角速度。

总结：陀螺仪能通过振动质量块受到的侧向力，测出瞬时角速度 ω，单位是 °/s。

沿某一方向振动的质量块，只能检测与振动方向垂直的那两个转轴。

3轴角速度的振动/检测方向安排如下：

由此得到两个重要结论：

1. 最少只需两个振动方向：结构①和②共用同一个"沿 X 振动"的质量块，就能同时测 ωy 和 ωz；再加一个沿 Y 振动的质量块测 ωx，三轴齐了。这就是为什么实际芯片常见 2 质量块设计；
2. 也有厂商做成 4 个对称质量块（如音叉式、环式结构），目的是抵消共模干扰、降低零偏——但原理仍然是上表的"驱动方向 × 检测方向"组合。

但实际输出不是理想值，而是：

• b：零偏（bias）——即使静止不动，陀螺仪也输出一个非零的小值（例如 0.5°/s）。它由制造工艺不对称、温度变化决定，且会随时间缓慢变化；
• n：噪声——随机抖动。

角度不是直接测出来的，而是从传感器数据"算"出来的。主要有三条路径：

路径 1：陀螺仪积分

角度是角速度对时间的积分：

优点：动态响应极快，短时期内非常精确——挥动手腕、转一下头，姿态立刻跟上。

致命缺陷：积分会把误差累积放大。静止时陀螺仪输出的零偏 b 也会被积分进去：

零偏只有 1°/s 的话，一分钟就累积 60° 的假角度，而且随时间线性增长，永不回头。这就是所谓的陀螺漂移。

路径 2：加速度计读重力

加速度计能测出重力方向。静止或缓动时，重力矢量在三轴上的投影告诉我们"哪边是下"，于是能算出俯仰（pitch）和横滚（roll）：

优点：这是一个绝对参考——不管设备之前怎么动过，重力永远指向地心，算出的倾斜角不随时间漂移。

缺陷：

• 只能算出相对重力的两个倾斜角，算不出绕竖直轴的水平朝向（yaw）——因为无论设备绕 z 轴转到哪个方向，重力在 z 轴上的投影都不变，重力对 yaw 完全"失明"；
• 任何线性加速度（走路震动、车辆加减速）都会污染重力读数，所以只适合准静态修正。

路径 3：磁力计读地磁场

有些IMU还有三轴磁力计，原理如下：

1. 某些坡莫合金（NiFe）薄膜中，电流方向与磁化方向的夹角会改变材料电阻——磁化方向平行于电流时电阻最大，垂直时最小；
2. 芯片上有四组磁阻条，分别对 x、y 方向磁场敏感，组成惠斯通电桥；
3. 外磁场（地磁场）改变磁化方向 → 电阻变化 → 电桥输出电压变化；
4. 三组正交摆放 → 测出磁场矢量 (Bx,By,Bz)。

地磁场方向基本恒定（指向磁北），据此可解算航向：

（M′ 为经倾斜补偿后的水平磁场分量。）

它补上了 IMU 最大的短板：yaw 的绝对锚点。9 轴融合后，三轴姿态都能长期稳定。

缺陷：地磁场很弱（约 50 μT），而扬声器磁钢、电机、钢筋、USB 电流产生的干扰场动辄几百 μT。室内磁力计数据基本不可信，所以很多产品（如手机、手柄）干脆不用磁力计，或只偶尔参考。

实际做法：传感器融合

真实 IMU 用互补滤波 / Madgwick / 卡尔曼滤波把三者融合：

• 短期信任陀螺仪（动态快、噪声小）；
• 长期用加速度计的重力方向持续"拉回"pitch 和 roll，抵消陀螺积分的漂移；
• yaw 只能靠陀螺积分，偶尔由磁力计修正（如果有的话）。

完整的数据流如下：

5.3 信息误差排序

所有误差根源是同一个：传感器输出含零偏 b 和噪声 n，积分把误差逐级放大：

设加速度零偏仅 0.01 m/s^2（约千分之一 g，消费级 IMU 的常见水平）：

• 10 秒后：速度误差 0.1 m/s，位移误差 ≈12×0.01×100=0.5 m；
• 60 秒后：位移误差 ≈18 m；
• 10 分钟后：误差上百米。

且噪声经二次积分同样发散。这就是为什么任何手机都不可能"只靠 IMU"长期追踪位置——误差按 t2 爆炸，没有任何重力或磁场参考能修正"水平位移"（重力只告诉你上下方向，不告诉你移动了多远）。

陀螺零偏典型 1∼10 °/h 量级（消费级），积分后角度线性漂移。其中yaw（Z 轴航向）最严重。

结论：位移误差最大（二次积分、平方增长），其次是航向角（无绝对参考），再次是速度；直接测量的加速度和角速度相对最可信。

5.4 为什么 Z 轴（yaw）精度最差

根本原因是：yaw 是"不可观测"的，没有任何绝对参考

• pitch/roll 有重力做绝对锚点，漂移随时被纠正，长期看误差被"钉死"在一个小范围内；
• yaw 没有任何天然锚点——重力帮不上忙，磁力计又不可靠。yaw 只能靠陀螺仪一路积分下去，零偏 b 的积分 b⋅t 无限累积。

所以漂移不是"Z 轴传感器特别烂"，而是yaw 这个量天生没有修正机制，误差只增不减。这是信息论层面的必然，任何算法都救不了。

硬件层面：工艺决定 Z 轴零偏往往本来就更大

陀螺仪结构是平面工艺制造的，驱动与检测结构都躺在芯片平面内（xy 平面）：

• 绕 x、y 轴旋转时，科里奥利力的方向与驱动震动方向是竖直平面，检测方式相对对称；
• 绕 z 轴旋转时，科里奥利力的方向与驱动震动方向是水平平面，结构上对平面内的工艺偏差、应力不对称更敏感。

结果就是 Z 轴的零偏 b 和零偏不稳定性（bias instability）通常比 X/Y 轴更大，积分起来漂得更快。消费级 IMU 中这是普遍现象。

5.5 消费级 IMU 目前最大的局限

综合来看，手机等电子产品中 IMU 的局限可归结为三点，其中第一点是根本瓶颈：

位移解算的 t^2 发散——"惯性导航"在消费级器件上不可行，即使零偏做到极小，二次积分的误差平方律也无法消除。这导致：

• 手机计步靠的是步态检测算法（数震动峰值），不是真积分位移；
• 室内定位靠 Wi-Fi/蓝牙/UWB 信标，而不是 IMU；
• VR 手柄/头显靠外部摄像头或基站追踪，IMU 只负责高频率的姿态插值。

消费级 MEMS 工艺下，零偏不稳定性（bias instability）约为 1∼10 °/h（陀螺）、几十 μg（加速度计），比导航级器件差 2~3 个数量级，且无法靠纯算法根治。

总结

一句话收尾：IMU 只能可靠地测"加速度"和"角速度"这两个瞬时量；凡是需要积分才能得到的量（角度、速度、位移），积分次数越多误差增长越快，位移因此成为永远做不好的那个量——这是消费级 IMU 一切工程妥协的总根源。