快速傅里叶FFT变换-尧图网站建设

一、概述

DFS 是周期序列的离散傅里叶级数

DTFT 是非周期序列的傅里叶变换，称离散时间傅里叶变换，其频谱是连续的函数

DFT 是有限长序列的离散傅里叶变换，是对其 DTFT 的等间隔抽样，是离散的频谱。DFT 是 DFS 的主值序列，是非周期的。而 DFS 是 DTFT 的频域内的抽样。

FFT 是 DFT 的一种高效快速算法，也称作快速傅里叶变换。

二、FFT结果的物理意义

1、FFT讲解

FFT 是离散傅立叶变换（DTF）的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用 FFT 变换的原因。另外，FFT 可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

虽然很多人都知道 FFT 是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道 FFT 之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做 FFT。

现在就根据实际经验来说说 FFT 结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过 ADC 采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。

采样得到的数字信号，就可以做 FFT 变换了。N个采样点，经过 FFT 之后，就可以得到 N个点的 FFT 结果。为了方便进行 FFT运算，通常 N 取 2 的整数次方。

假设采样频率为 Fs，信号频率为 F，采样点数为 N。那么FFT 之后结果就是一个为 N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？

假设原始信号的峰值为 A，那么 FFT 结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是 A 的 N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的 N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号相位。

第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被 N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n 所表示的频率为：Fn = (n-1)*Fs/N。

由上面的公式可以看出，Fn 所能分辨到频率为 Fs/N，如果采样频率Fs 为 1024Hz，采样点数为 1024点，则可以分辨到 1Hz。1024Hz 的采样率采样 1024点，刚好是 1秒，也就是说，采样 1秒时间的信号并做 FFT，则结果可以分析到 1Hz，如果采样 2秒时间的信号并做 FFT，则结果可以分析到 0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间呈倒数关系。

假设 FFT 之后某点n 用复数a+bi 表示，那么这个复数的模就是 An = √(a*a+b*b)，相位就是 Pn = atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出 n点（n ≠ 1，且n ≤ N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即 2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于 n = 1点的信号，是直流分量，幅度即为 A1/N。

由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。

2、实例讲解

假设我们有一个信号，它含有 2V 的直流分量，频率为 50Hz、相位为 -30°、幅度为 3V 的交流信号，以及一个频率为 75Hz、相位为 90°、幅度为 1.5V 的交流信号。数学表达式：Signal = 2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。

式中 cos 参数为弧度，所以 -30° 和 90° 要分别换算成弧度。我们以 256Hz 的采样率对这个信号进行采样，总共采样 256点。按照我们上面的分析，Fn = (n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是 1Hz，第n个点的频率就是 n-1。

我们的信号有 3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近 0。实际情况如何呢？我们来看看 FFT 的结果的模值如图所示。

图2.2.1 时域到频域变换

图2.2.2 各个频域幅值

从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：

1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

……

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

……

75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是 0，即在那些频率点上的信号幅度为 0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：

1点： 512
51点：384
76点：192

按照公式，可以计算出直流分量为：512/N = 512/256 = 2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2) = 384/(256/2) = 3；75Hz信号的幅度为 192/(N/2) = 192/(256/2) = 1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。

然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算 50Hz 信号的相位，atan2(-192, 332.55) = -0.5236，结果是弧度，换算为角度就是 180*(-0.5236)/pi = -30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12) = 1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi = 90.0002。可见相位也是对的。

根据 FFT 结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。

3、总结

假设采样频率为 Fs，采样点数为 N，做 FFT 之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn = (n-1)*Fs/N；该点的模值除以 N/2 就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a) 计算。atan2(b,a) 是求坐标为 (a,b)点的角度值，范围从 -π～π。要精确到 xHz，则需要采样长度为 1/x秒的信号，并做 FFT。

要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的 0，使其长度达到需要的点数，再做 FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。

使用Excel进行傅里叶变换：傅里叶变换FFT（基于Excel）。

4、Matlab测试程序

close all; %先关闭所有图片 Adc=2; %直流分量幅度 A1=3; %频率F1信号的幅度 A2=1.5; %频率F2信号的幅度 F1=50; %信号1频率(Hz) F2=75; %信号2频率(Hz) Fs=256; %采样频率(Hz) P1=-30; %信号1相位(度) P2=90; %信号相位(度) N=256; %采样点数 t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻 %信号 S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180); %显示原始信号 plot(S); title('原始信号'); figure; Y = fft(S,N); %做FFT变换 Ayy = (abs(Y)); %取模 plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果 title('FFT 模值'); figure; Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度 Ayy(1)=Ayy(1)/2; F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值 plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果 title('幅度-频率曲线图'); figure; Pyy=[1:N/2]; for i="1:N/2" Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位 Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度 end; plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图 title('相位-频率曲线图');

三、理解离散傅立叶变换

理解离散傅立叶变换（一. 傅立叶变换的由来）

理解离散傅立叶变换（二. 实数形式离散傅立叶变换）

理解离散傅立叶变换（三.复数）

理解离散傅立叶变换（四. 复数形式离散傅立叶变换）

参考

1、DFT、DFS、FFT区别

2、名词解释

1）采样频率：单位时间（一般1秒）内采样点数

2）带宽：指的是信号的主体占据的频率范围

3）频率分辨率：分辨两个不同频率信号的最小间隔，所以信号越长，分辨率越好，T就是采样前模拟信号的时间长度。

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