图形学中的变换
二维变换
缩放变换（Scale）
如上图，如果想把一个图形缩小为原来的0.5倍，那么就需要x坐标变为0.5倍，y坐标也变为0.5倍，可以用以下表达式表示
这两个表达式可以用矩阵的形式表示如下
Sx表示在x轴方向上缩放的倍数，Sy表示在y轴方向上缩放的倍数
反射变换（Reflection）
如上图需要将物体以y轴进行镜像，那么可以用以下表达式表达
也可以用矩阵形式的表达
一些其他镜像矩阵
切变变换（Shear）
如上图这个变换好像是拽着图形的右上角沿着x轴向右拉了一段距离，称为剪切变换。
剪切变换有以下特点
- 变换后物体的y坐标保持不变
- x坐标在最高的点平移了a，最低点没有移动
- 其它的点移动距离a * Y (Y表示物体上点的y坐标值)
用矩阵形式的表达为
旋转变换
说旋转，默认指的是 绕原点(0,0)逆时针旋转，下图是物体绕原点逆时针旋转θ角的示意图
当一个点 (𝑥, 𝑦 ) 绕着原单 (0, 0) 旋转 𝜃 角时，变换矩阵可以表示为：
推导过程：
旋转矩阵的是正交矩阵，旋转矩阵的逆等于其转置。\(R_-\theta = R_\theta^T\)
平移变换(仿射变换)
如上图需要把一个图形沿x轴平移tx，沿y轴平移ty，可以用以下表达式表示
无法用前面熟悉的线性变换矩阵的形式表示，也就是说平移变换是非线性变换，只能用以下矩阵形式表示，上面把这种变换称为非线性变换，也叫仿射变换
为了统一，引入齐次坐标。
齐次坐标
点和向量转换为齐次坐标：
向量具有平移不变性，因此向量的齐次方程在后面加0，可以保护向量在平移时不被改变。
最后一位还可以满足向量与点之间的运算：
齐次坐标中的点加点定义为两个点的中点。
普通坐标转化为齐次坐标：
由此可看出齐次坐标表示时是先线性变换再平移。
逆变换
一个物体做一个变换，变换完以后要恢复到原来的位置，变换回原来的位置的过程称为逆变换，逆变换在数学上的实现是乘以变换矩阵的逆矩阵。
组合变换
先平移后旋转：
先旋转后平移：
由此可知：
- 复杂的变换可以由一系列简单的变换得到。
- 变换的循序很重要，因为组合变换由矩阵相乘得到，而矩阵的乘法不满足交换律。
矩阵相乘的顺序：
矩阵没有交换律，因此不能改变乘的顺序，但有结合律，因此可以先将矩阵相乘得到一个矩阵，再将这个矩阵与向量相乘。
分解变换
非原点的旋转变换：
可将整个变换分解为先进行平移变换T（-c)，再进行旋转变换R（\(\alpha\))，最后再平移回去T（c)。
刚体变换
只有平移和旋转组成的变换称为刚体变换，例如一个物体先旋转45度在x轴方向上平移一个单位，这样的变换称为刚体变换，刚体变换的本质是一个物体的位置和角度发生了变换，物体本身的形状并不发生任何变化。
上面的变换是先进行线性变换-旋转，在进行仿射变换-平移，这时可以把两个变换的矩阵合并为一个矩阵，两种变换合并为一个矩阵用来表示刚体变换，这个矩阵称为刚体变换矩阵
刚体变换的逆变换
二维刚体变换的逆变换矩阵，只需要把原变换矩阵左上角2×2矩阵(上图蓝色框部分)转置，右侧最后一列(上图红色框部分)的平移分量符号取反。就可以得到刚体变换的逆变换矩阵
三维变换
三维空间的向量和点：
旋转变换
绕x轴旋转：
绕y轴旋转：
绕z轴旋转：
复杂旋转的公式：用简单旋转公式描述复杂旋转