我们一般在处理区间修改的操作时，会在线段树上打懒标记，意思是这个结点所代表的区间中的所有数都要同时进行一系列修改。为了更容易理解历史和线段树，我们先来回顾一下普通线段树的区间加操作。
\(\mathbf{Preperation}\)
引理
对于区间加，区间求和问题，我们在做线段树时，有结论：子节点的懒标记时间比父节点的懒标记靠前。
我们把注意力放在父子结点的懒标记之间的时间关系上，我们发现，操作后，新的被打上标记的顶点 \(t\)，它的父亲节点的标记都被下放了，所以父亲结点的懒坐标只可能在之后出现。
\(\mathbf{Part. 1}\)
进入正题。
给你一个序列 \(a_1\) 到 \(a_n\)，初始全为 \(0\)。你需要支持如下操作：
- 将 \([l, r]\) 区间中的每个数 \(a_i\) 加上 \(y\)
- 查询 \([l, r]\) 在历史每个时刻的和的总和
容易想到每次修改的时候，我们对 \([l, r]\) 的 \(a_i\) 区间加。然后，我们在全局上打一个历史和更新的标记。
我们对每个结点，记录三个信息，分别是 \(his, sum, len\)，表示这个区间的历史和，区间和，区间长度。由引理，我们知道在下放懒标记和单点加标记的时候，可以视作一些懒标记在前，一些懒标记在后，现在要合并在一起。
但这没有只有加法标记的时候那么显然，因为现在还有一个历史和更新操作，不是很好合并。
下文介绍两种方法。（还有一种我觉得不涉及历史和线段树的思想，不在赘述）
\(\mathbf{Part. 1.1 \ Matrix}\)
我们考虑刻画这两种标记分别在对这三个信息做什么。
- 区间加标记 \(v\)：\(sum = sum + len \times v\)
- 历史和更新标记：\(his = his + sum\)
实际上，这两种标记都只是在这三个变量里做线性变换，因此考虑用矩阵刻画。
我们把要存储的信息全部列在矩阵里，也就是 \(\begin{bmatrix}his\\sum\\len\end{bmatrix}\)，那么有：
- 区间加标记 \(v\)：乘上 \(\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & v\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
- 历史和更新标记：乘上 \(\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
现在，标记的合并都被刻画成了矩阵乘法，于是就十分好做了。
\(\mathbf{Part. 1.2 \ Tag \ Queue}\)
我们直接考虑如何合并两个标记队列。假设有两个标记队列 \(A, B\)，\(A\) 在前，\(B\) 在后。我们先把只在 \(A\) 或者 \(B\) 内的贡献加起来，计这个内部贡献为 \(ret\)。那么，我们只需要计算两个标记队列之间的贡献即可。
对于 \(A\) 队列里的任意一个加法标记，它在 \(B\) 每次历史和更新时都会被算一次，因此两边之间的贡献就是 \(add_A \times upd_B\)，其中 \(add_A\) 表示 \(A\) 中的加法标记和，\(upd_B\) 表示 \(B\) 中的历史和更新标记个数。
我们对每个结点，再计三个数 \(add, upd, ret\) ，用来表示整个标记队列。那么我们考虑一次下放操作，有 \(sum = sum + add'\)，\(ret = ret + ret' + add \times upd'\)，\(add = add + add'\)，\(upd = upd + upd'\)。根据这个转移即可。
我们比较一下这两种方法。
- 矩阵计 tag 适用性十分高，因为只需要你的操作都是线性变换，就可以用矩阵做。但缺点是常数比较大。
- 暴力考虑标记序列合并，其实相当于直接爆拆矩阵的乘法运算，所以适用性肯定没有矩阵好，比如区间覆盖就比较难处理。
我们稍微结合一下两个方法的优点，考虑矩阵哪里是不动的，我们就只对剩下的位置进行计算，这样适用性会很高，常数也会变小。
那么现在，最基础的历史和线段树就讲完了。实现可能需要注意一下细节。
习题稍后更新。（我还没写/ll）