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十分有趣的题。
思路
三条路径，本质上其实就是 \(x,y\) 同时属于两个有交集（至少交一条边）的简单环，这个肯定没问题。
套路的跑一遍 dfs，然后就有了返祖边树边和横叉边，然后朴素的分讨然后用个数据结构之类的维护一下就可以 \(n\log\) 解决了。
判有没有解倒是可以树上差分做，但这道题要求方案数，我们用一个暴力的思想，考虑每次对于一条非树边，我们暴力去覆盖树边，如果树边已经被覆盖，那么一定有解，取出这两条非树边然后去求答案即可。
具体求答案我简单叙述一下，具体还是自行画图看，首先把交集的点拿出来，然后按深度排序从小到大输出就完成了一部分。
然后对于 \(x,y\) 这条边，如果是横叉边，一定有一个点是结束点，然后输出就是形如 \(S,x,E\)，其中 \(S,E\) 分别是开始点和结束点。否则是返祖边，那么假设 \(dep_x < dep_y\)，那么就是 \(S,fa_S...,x,y,fa_y,...,E\)，构造即可。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
namespace IO
{template<typename T>void read(T &_x){_x=0;int _f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) _f=(ch=='-'?-1:_f),ch=getchar();while(isdigit(ch)) _x=_x*10+(ch^48),ch=getchar();_x*=_f;}template<typename T,typename... Args>void read(T &_x,Args&...others){Read(_x);Read(others...);}const int BUF=20000000;char buf[BUF],top,stk[32];int plen;#define pc(x) buf[plen++]=x#define flush(); fwrite(buf,1,plen,stdout),plen=0;template<typename T>inline void print(T x){if(!x){pc(48);return;}if(x<0) x=-x,pc('-');for(;x;x/=10) stk[++top]=48+x%10;while(top) pc(stk[top--]);}
}
using namespace IO;
const int N = 2e5+10;
int n,m,x,y,head[N],cnt,v[N],dep[N],son[N],op,fa[N],ly,ny,v1[N],v2[N],v3[N],len,len1,T[N],T1[N];
int X,Y,X1,Y1;
struct w
{int to,nxt;
}b[N<<1];
inline void add(int x,int y)
{b[++cnt].nxt = head[x];b[cnt].to = y;head[x] = cnt;
}
void dfs(int x,int y)
{if(op == 1) return; v[x] = 1,dep[x] = dep[y]+1; fa[x] = y;for(int i = head[x];i;i = b[i].nxt){if(op == 1) return; if(!v[b[i].to]) dfs(b[i].to,x);else if(b[i].to != y)//不是树边{if(dep[b[i].to] == dep[x])//横叉边{ly = x; ny = b[i].to;while(ly != ny){//边转点 if(v1[ly]){X = x,Y = b[i].to;X1 = v1[ly],Y1 = v2[ly]; op = 1;break;}if(v1[ny]){X = x,Y = b[i].to;X1 = v1[ny],Y1 = v2[ny]; op = 1;break;}v1[ly] = x,v2[ly] = b[i].to;ly = fa[ly];v1[ny] = x,v2[ny] = b[i].to;ny = fa[ny];}}else if(dep[b[i].to] < dep[x])//返祖边{ly = x;while(ly != b[i].to){//边转点 if(v1[ly]){X = x,Y = b[i].to;X1 = v1[ly],Y1 = v2[ly]; op = 1;break;}v1[ly] = x,v2[ly] = b[i].to;ly = fa[ly];}}} }
}
inline void C(int x,int y)//染色，注意这里是染点
{if(dep[x] == dep[y]){ly = x,ny = y;while(ly != ny) v1[ny] = x,v2[ny] = y,v3[ly]++,v3[ny]++,ly++,ny++; v3[ly]++;}else{ly = x;while(ly != y) v3[ly]++,ly = fa[ly];v3[ly]++;}
}
inline bool cmp(int x,int y){ return dep[x] < dep[y]; }
inline void solve(int X,int Y)
{len1 = 0; ly = T[1]; T1[++len1] = ly; if(dep[X] == dep[Y] && dep[Y] == ly) swap(X,Y);while(dep[Y] < dep[ly]) ly = fa[ly],T1[++len1] = ly;//S一直到Y去 if(dep[X] == dep[Y]) T1[++len1] = X,T1[++len1] = Y;//画图可以看出，这种一定是S->X->E这么连,dep相等一定有一个是Eelse {T1[++len1] = X;while(X != T[len]) X = fa[X],T1[++len1] = X;//一直走到E为止 }print(len1),pc(' '); for(int i = 1;i <= len1;i++) print(T1[i]),pc(' '); pc('\n');
}
signed main()
{//freopen(".in","r",stdin);//freopen(".out","w",stdout);read(n),read(m);for(int i = 1;i <= m;i++) read(x),read(y),add(x,y),add(y,x);//图不一定联通for(int i = 1;i <= n;i++)if(!v[i]){dfs(i,0);if(op){pc('Y'),pc('E'),pc('S'),pc('\n');C(X,Y),C(X1,Y1);// cout<<X<<" * "<<Y<<" "<<X1<<" "<<Y1<<" "<<dep[X]<<" "<<dep[Y]<<" "<<dep[X1]<<" "<<dep[Y1]<<'\n';for(int i = 1;i <= n;i++)if(v3[i] == 2) T[++len] = i;sort(T+1,T+1+len,cmp);print(len),pc(' '); for(int i = 1;i <= len;i++) print(T[i]),pc(' '); pc('\n');solve(X,Y); solve(X1,Y1);flush();return 0;}}pc('N'),pc('O'),pc('\n');flush(); return 0;
}
/*
10 20
5 1
10 5
2 10
6 4
10 6
9 6
1 7
3 10
3 2
6 2
5 4
7 10
3 9
9 1
5 3
7 9
8 4
4 7
6 3
10 8
注意到有三条路径
本质上就是有两个简单环交于同一条线段（交多部分也行）
考虑先跑dfs，这样只有返祖边,横叉边和树边
然后大致有四种情况
嗯，分别去看一下就好了，具体见代码
实现，emm目前我只会单log的，先写了来吧
我去我知道了，我们只需要看合不合法，然后构造任意一组方案
我们直接对于每条非树边暴力覆盖树边
然后有一条覆盖次数大于一那么一定有解了，输出
具体实现，请见代码
*/