集合
集合分类：
- 有限集合
- 无穷集合
- 可数无穷集合
- 符号：\(\aleph_0\)
- 定义：所有能与自然数集 \(\mathbb{N}\) 建立一一对应关系的集合称为可数无穷集。
- 不可数无穷集合
- 符号：\(\aleph_x\)
- （基数更大的无穷）
- 可数无穷集合
勒贝格测度：
勒贝格测度的目标是给实数轴上的子集（尤其是那些非常不规则、黎曼积分无法处理的集合）分配一个非负的实数（或无穷大），作为其“长度”的推广。测量“简单”集合（区间）：\(\text m\left(\left(a, b\right)\right) = b - a\)
测量“复杂”集合（外包与内填）（如测量有理数集）
勒贝格测度测量有理数集和无理数集
- 有理数集 \(\mathbb{Q}\) 的勒贝格测度为 \(0\)。
- 无理数集 \(\mathbb{W}\) 在区间 \(\left[0, 1\right]\) 上的勒贝格测度为 1。（更一般地，在任何区间 \(\left[ a, b \right]\) 上，其测度为 \(b - a\)）。
有理数集长度为 \(0\) 的证明（不妨考虑在 \(\left[0, 1\right]\) 中）：
关键原因：有理数集是一个“可数集”。
可数性：我们知道有理数可以被排列成一个无穷序列（即它们是可数的）。例如，所有有理数可以列为：\(q_1, q_2, q_3, \dots\)
构造覆盖：现在，我们要测量这个集合的“总长度”。勒贝格测度的思想之一就是用一些小区间去“覆盖”住这个集合，然后计算这些小区间长度的总和。
对于第 \(n\) 个有理数 \(q_n\)，我用一个非常小的区间 \(I_n\) 来盖住它。这个区间的长度是 \(\frac{ε}{2^n}\)（\(ε\) 是任意小的正数）。
这样，我就用一系列开区间 \(\{I_1, I_2, I_3, \dots\}\) 把整个有理数集 \(\mathbb Q\) 完全覆盖住了。计算总长度：所有这些覆盖区间的总长度是多少？这是一个几何级数： 总长度 \(\le \frac{ε}{2} + \frac{ε}{4} + \frac{ε}{8} + \frac{ε}{16} + \dots = ε\)
这意味着什么？ 这意味着，我用总长度不超过 \(ε\) 的一堆区间，就把所有的有理数都盖住了。而 \(ε\) 是我可以任意选择的一个数，我可以让它想多小就多小。得出结论：既然覆盖有理数集所需的总长度可以小于任何你事先给定的正数（\(ε \rightarrow 0\)），那么有理数集本身的“长度”就只能为 \(0\)。
为什么无理数无法用上述方法测量？
- 无理数集无法被枚举成一个序列（即无法与自然数集一一对应）。勒贝格外测度的定义要求覆盖必须由可数多个开区间组成（即覆盖序列是可数的）。
实数
- 实数（集）如何定义？
1. 戴德金分割
核心概念
一个戴德金分割 \((A, B)\) 是有理数集 \(\mathbb{Q}\) 的一个划分，满足：
- \(A \neq \emptyset\), \(B \neq \emptyset\)
- \(A \cup B = \mathbb{Q}\)
- \(A \cap B = \emptyset\)
- \(\forall a \in A, \forall b \in B (a < b)\)
- \(A\) 没有最大元素（即 \(\not\exists \alpha \in A \text{ s.t. } \forall a \in A, a \leq \alpha\)）
这样的一个分割 \((A, B)\) 本身就定义了一个实数。
- 有理数：若 \(B\) 有最小元素 \(r \in \mathbb{Q}\)，则该分割对应于有理数 \(r\)。
- 无理数：若 \(B\) 没有最小元素，则该分割定义了一个新的数——无理数。
实数集 \(\mathbb{R}\) 定义为所有戴德金分割的集合。
2. 柯西序列
核心概念
- 柯西序列：一个有理数序列 \((x_n)\) 称为柯西序列，当且仅当 \(\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, |x_n - y_n| < \varepsilon\)（即收敛）。
- 等价关系：定义两个有理柯西序列 \((x_n)\) 和 \((y_n)\) 等价（记作 \((x_n) \sim (y_n)\)），当且仅当：\(\lim\limits_{n\to\infty} | x_n - y_n|\)。
实数集 \(\mathbb{R}\)** 定义为所有有理柯西序列的等价类的集合。
- 每个等价类 \([(x_n)] = {(y_n) \mid (y_n) \sim (x_n)}\) 是一个实数。
- 有理数 \(r \in \mathbb{Q}\) 对应常值序列 \((r, r, r, \ldots)\) 的等价类。
- 无理数 对应那些不收敛到任何有理数的柯西序列的等价类。
3. 公理法：最小上确界性质
这是一种更现代的定义方式，不依赖于具体构造，而是直接规定实数系必须满足的性质。
一个集合 \(\mathbb{R}\) 被称为实数系，如果它是一个有序域（定义了加法 \(+\)、乘法 \(\cdot\) 和全序关系 \(<\)，并满足域公理和序公理），并且满足以下完备性公理（也称为最小上确界性质）：
任何有上界的非空子集 \(S \subseteq \mathbb{R}\)，在 \(\mathbb{R}\) 中必有上确界（最小上界）。
重要性
- 有理数集 \(\mathbb{Q}\) 不满足该性质。例如，集合 \(S = {x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2}\) 在 \(\mathbb{Q}\) 中有上界，但无上确界（因为 \(\sup S = \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)）。
- 实数集 \(\mathbb{R}\) 满足该性质，这保证了它的完备性。
函数
单射：\(\forall x_1,x_2 \in A, x_1 = x_2 \Leftrightarrow \text f(x) = \text f(y)\)（一一对应）