题⽬描述
输⼊⼀个整型数组，数组⾥有正数也有负数。数组中的⼀个或连续多个整数组成⼀个⼦数组。求所有⼦数组的和的最⼤值。要求时间复杂度为 O(n) .
示例1
输⼊：[1,-2,3,10,-4,7,2,-5]
返回值：18
输⼊的数组为 {1,-2,3,10,-4,7,2,-5} ，和最⼤的⼦数组为 {3,10,-4,7,2} ，因此输出为该⼦数组的和 18 。
思路及解答
暴⼒破解
通过两层循环枚举所有可能的子数组起点和终点，计算每个子数组的和并记录最大值。
public class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int n = nums.length;int maxSum = Integer.MIN_VALUE; // 初始化为最小整数，以处理全负数数组for (int i = 0; i < n; i++) {int currentSum = 0; // 记录从i开始到j的子数组和for (int j = i; j < n; j++) {currentSum += nums[j]; // 累加当前元素if (currentSum > maxSum) {maxSum = currentSum; // 更新全局最大和}}}return maxSum;}
}
- 时间复杂度：O(n²)，因为有两层嵌套循环。
- 空间复杂度：O(1)，只使用了常数级别的额外空间。
分治法
分治法将数组分成左右两半，分别递归求解左右半边的最大子数组和，再计算跨越中点的最大子数组和，最后合并结果。
public class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {return divideAndConquer(nums, 0, nums.length - 1);}private int divideAndConquer(int[] nums, int left, int right) {if (left == right) {return nums[left]; // 递归基：只有一个元素}int mid = left + (right - left) / 2;int leftMax = divideAndConquer(nums, left, mid); // 左半部分的最大子数组和int rightMax = divideAndConquer(nums, mid + 1, right); // 右半部分的最大子数组和int crossMax = maxCrossingSum(nums, left, mid, right); // 跨越中点的最大子数组和return Math.max(Math.max(leftMax, rightMax), crossMax); // 返回三者中的最大值}private int maxCrossingSum(int[] nums, int left, int mid, int right) {int leftSum = Integer.MIN_VALUE;int sum = 0;for (int i = mid; i >= left; i--) { // 从中点向左扫描sum += nums[i];if (sum > leftSum) {leftSum = sum;}}int rightSum = Integer.MIN_VALUE;sum = 0;for (int i = mid + 1; i <= right; i++) { // 从中点向右扫描sum += nums[i];if (sum > rightSum) {rightSum = sum;}}return leftSum + rightSum; // 合并左右两部分的和}
}
- 时间复杂度：O(n log n)，由递归树深度（log n）和每层合并操作（n）决定。
- 空间复杂度：O(log n)，递归调用栈的深度。
动态规划
⾸先我们定义这个问题：
dp[i] 表示下标以i结尾的连续⼦数组的最⼤和，假设数组⼤⼩为 n ,那么最终求解的就是 dp[n-1] 。
下标以 i 结尾的连续⼦数组的最⼤和，怎么求呢？
要想求 dp[i] ,那我们现在假设⼀下，假设下标以i-1 结尾的连续⼦数组的最⼤和为 dp[i-1] ,数组第 i 个元素是 nums[i] ，那么当前的连续⼦数组的最⼤和，要么是前⾯的加上当前的元素： dp[i-1]+nums[i] ，要么是舍弃掉之前的 dp[i-1]（这个很可能是负数） ，取现在的 nums[i] ;
因此，状态转移⽅程为：dp[i] = max{dp[i-1]+nums[i] , nums[i]}
但是，值得注意的是， Max{dp[i-1]+nums[i],nums[i]} 求得的仅仅是以 i 下标结尾的⼦数组的最⼤和，之前计算的连续⼦数组最⼤和需要保存起来，不断的和当前计算的最⼤和⽐较，取最⼤值。
public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {int res = array[0]; //记录当前所有⼦数组的和的最⼤值int[] dp = new int[array.length]; dp[0] = array[0]; for (int i = 1; i < array.length; i++) {dp[i] = Math.max(dp[i-1] + array[i], array[i]);res = Math.max(max, res);}return res;
}
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
这里只用到了dp[i]和dp[i-1]，显然还可以再优化。即
public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {int res = array[0]; //记录当前所有⼦数组的和的最⼤值int max = array[0]; //包含array[i]的连续数组最⼤值for (int i = 1; i < array.length; i++) {max = Math.max(max + array[i], array[i]);res = Math.max(max, res);}return res;
}
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)，只使用了两个变量。