实用指南：25年高联：一试填空题解析（下篇）

题目呈现（源自2025年全国高中数学联赛（预赛）A卷）

题目5．若正整数 $k$ 满足 ${\left(\frac{\sin 20^{\circ }+\sin 25^{\circ }\cdot i}{\cos 25^{\circ }+\cos 20^{\circ }\cdot i}\right)}^k\in \mathbb{R}$（$i$为虚数单位），则$k$的最小值为______．

题目6．设 $\Gamma$为任意正棱柱，在其12条棱中随机选取两条不同的棱$l_1,l_2$，事件“$l_1$ 与 $l_2$平行”的概率记为$P(\Gamma )$，则 $P(\Gamma )$的所有可能值为______．

题目7．平面中3个单位向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 满足 $\vec{a}-\vec{b}=\left[\vec{a}\cdot \vec{c}\right]+\left[\vec{b}\cdot \vec{c}\right]$（$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数），则$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$的取值范围是______．

题目8．将 $1,2,3,\cdots ,9$ 排列为 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$，使得三个三位数$\overline{abc}+\overline{def}+\overline{ghi}=2025$，则不同的排列方法数为______．

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破题思路

题目5：复数乘方入实域

破题点：看到分式复数的$k$次幂要求为实数，立即联想复数三角化与棣莫弗定理将复数转化为就是，目标$r(\cos \theta +i\sin \theta )$形式，从而利用辐角为$k\theta$时虚部为零的条件．

题目6：棱柱平行概率谜

破题点：正棱柱的棱分三类——侧棱、上底棱、下底棱．平行关系仅存在于同类棱之间，且需分类讨论底面形状（平行四边形/梯形/一般四边形）．

题目7：向量方程捉迷藏

破题点：由 $\vec{a}-\vec{b}=[\vec{a}\cdot \vec{c}]+[\vec{b}\cdot \vec{c}]$ 且 $[\cdot ]$是取整函数，分析出$\vec{a}-\vec{b}$只能是整数，结合单位向量性质缩小范围．

题目8：数字排列拼2025

破题点：将 $\overline{abc}+\overline{def}+\overline{ghi}=2025$ 转化为各位数字和与进位制分析，关键锁定$C=c+f+i=15$．

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关键推导与解答

题目5：复数乘方入实域

破题点：复数三角化与棣莫弗定理

这个分式复数长得像一团乱麻‍，但分母分子都是三角函数线性组合——和差化积公式瞬间让问题清爽起来！

原式化简：
$$\begin{array}{rl}& \frac{\sin 20^{\circ }+i\sin 25^{\circ }}{\cos 25^{\circ }+i\cos 20^{\circ }}\\ =& \frac{\sin 20^{\circ }\cos 20^{\circ }+\sin 25^{\circ }\cos 25^{\circ }\cdot i}{\cos 20^{\circ }\cos 25^{\circ }}\\ =& \frac{\sin 40^{\circ }+i\sin 50^{\circ }}{2\cos 20^{\circ }\cos 25^{\circ }}\\ =& \frac{1}{2\cos 20^{\circ }\cos 25^{\circ }}(\cos 50^{\circ }+i\sin 50^{\circ })\end{array}$$

此处用到了 $\sin A\cos B+\cos A\sin B=\sin (A+B)$ 的变形）

于是原复数化为：
$$z=\frac{1}{2\cos 20^{\circ }\cos 25^{\circ }}\cdot (\cos 50^{\circ }+i\sin 50^{\circ })$$

它的 $k$ 次幂为：
$$z^k=\frac{1}{(2\cos 20^{\circ }\cos 25^{\circ }{)}^k}(\cos 50k^{\circ }+i\sin 50k^{\circ })$$

关键一击：$z^k\in \mathbb{R}$当且仅当虚部为零，即$\sin 50k^{\circ }=0$．
解得 $50k=180^{\circ }\cdot m$（$m$为整数），即$k=\frac{18m}{5}$．
最小正整数 $k$ 需满足 $5\mid 18m$，故 $m=5$ 时，$k=18$．

✅ 本题精要：

• 三角恒等式化简分式复数
• 棣莫弗定理处理乘幂
• 虚部归零求整数解

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题目6：棱柱平行概率谜

破题点：分类讨论底面形状

四棱柱的12条棱看似杂乱，实则侧棱相互平行，看上下底面情况

情形1：底面为一般四边形（两组对边都不平行）：

$$\begin{array}{rl}P(\Gamma )& =\frac{C_4^2\times 2+C_4^2}{C_{12}^2}\\ & =\frac{6\times 2+6}{66}=\frac{5}{33}\end{array}$$

情形2：底面为梯形（一组对边平行）：

$$\begin{array}{rl}P(\Gamma )& =\frac{C_4^2+C_4^2+C_4^2\times 2}{C_{12}^2}\\ & =\frac{6+6+12}{66}=\frac{7}{33}\end{array}$$

情形3：底面为平行四边形（两组对边平行）：

$$\begin{array}{rl}P(\Gamma )& =\frac{C_4^2+C_4^2+C_4^2}{C_{12}^2}\\ & =\frac{6+6+6}{66}=\frac{3}{11}\end{array}$$

✅ 本题精要：

• 解剖棱柱结构（侧棱/底棱）
• 分类讨论底面平行性（一般/梯形/平行四边形）
• 组合计数（$C_n^k$的灵活应用）

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题目7：向量方程捉迷藏

破题点：结合单位向量性质缩小范围

单位向量点积范围是$[-1,1]$，取整后只有$-1,0,1$ 三种可能．

由$|\vec{a}|\le |\vec{b}|$,$|\vec{a}|=1$$及$$\vec{a}-\vec{b}=[\vec{a}-\vec{c}]+[\vec{b}-\vec{c}]\in \mathbb{Z}$，

可知$\vec{a}-\vec{b}\in \{-1,0,1\}$.

分类讨论：

情形1：若$\vec{a}-\vec{b}=1$，

则$\vec{a}=\vec{b}$，此时$$[\vec{a}-\vec{c}]+[\vec{b}-\vec{c}]=2[\vec{a}-\vec{c}]$$为偶数，不可能为$1$，矛盾.

情形2：若$\vec{a}-\vec{b}=-1$，

则$\vec{b}=-\vec{a}$，此时$$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{c}|=1$$

相应的例子存在，例如$\vec{c}$与$\vec{a}$的夹角为锐角时，
由$-1<-\vec{b}\cdot \vec{c}<0<\vec{a}\cdot \vec{c}<1$，
知$[\vec{a}-\vec{c}]+[\vec{b}-\vec{c}]=-1=\vec{a}-\vec{b}$.

情形3：若$\vec{a}-\vec{b}=0$，

不妨设$\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(0,1)$，$\vec{c}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，$\theta \in [0,2\pi )$.

记$f(\theta )=[\vec{a}-\vec{c}]+[\vec{b}-\vec{c}]=[\cos \theta ]+[\sin \theta ]$.

• 当$\theta =0$或$\frac{\pi }{2}$时，$f(\theta )=1\ne 0$，

• 当$\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi )$时，$f(\theta )<0$，均不合要求.

• 当$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$时，$f(\theta )=0$，满足要求，此时
  $$\begin{array}{rl}& |\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|\\ =& \sqrt{(1+\cos \theta {)}^2+(1+\sin \theta {)}^2}\\ =& \sqrt{3+2\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})}\\ \in & (\sqrt{5},\sqrt{2}+1].\end{array}$$

综上，$|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|$的取值范围是$\{1\}\cup (\sqrt{5},\sqrt{2}+1]$.

✅ 本题精要：
取整函数性质（值域为$\{-1,0,1\}$）
向量关系分类（平行或正交）
三角参数化求范围

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题目8：数字排列拼2025

破题点：转化为各位数字和与进位制分析

由题意得
$$(100a+10b+c)+(100d+10e+f)+(100g+10h+i)=2025$$
即
$$100(a+d+g)+10(b+e+h)+(c+f+i)=2025$$

记
$$\begin{array}{rlr}A& =& a+d+g，\\ B& =& b+e+h，\\ C& =& c+f+i，\end{array}$$
则
$$\begin{array}{rl}& 100A+10B+C=2025\\ & A+B+C=1+2+\cdots +9=45\end{array}$$

注意：$C$是末位和，且$2025$ 末位为$5$，故 $C$ 末位为$5$（可能进位）．
但 $1+2+3\ge C\le 9+8+7=24$，
故 $C=15$．
则 $A+B=30$且$100A+10B=2010$，
解得$A=19$，$B=11$．

接下来是 排列组合大作战：

$\{a,d,g\}$ 和为$19$，$\{b,e,h\}$ 和为$11$，$\{c,f,i\}$ 和为$15$，只需枚举$19$和$11$的拆分方案（每组数来自$1\sim 9$且不重复）：

计算总数：
每组拆分中：

$\{a,d,g\}$ 有 $3!=6$ 种排列
$\{b,e,h\}$ 有 $3!=6$ 种排列
$\{c,f,i\}$ 有 $3!=6$ 种排列
故总数 $=9\times 6^3=1944$．

✅ 本题精要：
各位和分解（$A+B+C=45$）
末位锁定 $C=15$
枚举不重复拆分
全排列乘法

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答案汇总

题目	答案
题5	$18$
题6	$\frac{5}{33},\frac{7}{33},\frac{3}{11}$
题7	$\{1\}\cup \left(\sqrt{5},\sqrt{2}+1\right]$
题8	$1944$

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